第1页共224页专题06二次函数中特殊三角形的存在性（八大题型）62题专练通用的解题思路：特殊三角形的讨论问题，常见于中考试卷的压轴题中，其融合了特殊三角形的性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角比的应用等数学核心知识，考查了学生的分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想。虽部分特殊三角形的存在性问题有一定“套路”可循，但大多题目试题命题灵活，并无单一模式，对学生提出了相当大的挑战。然而万变不离其宗，从特殊三角形本身的性质入手，结合边、角的相互转化，就能拨开迷雾、追寻真迹。一：等腰三角形的存在性根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意．解题思路：（1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）（3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根．二：直角三角形的存在性在考虑△ABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理。解题思路：（1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；（2）计算出相应的边长等信息；（3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标．三：等腰直角三角形的存在性既要结合等腰三角形的性质，又要结合直角三角形的性质。需要分类讨论哪个角是直角。四：相似三角形的存在性相似三角形存在性问题，分类讨论步骤：第一步：找到题目中已知三角形和待求三角形中相等的角；第2页共224页要先确定已知三角形是否有直角，或确定锐角（借助三角函数值-初中阶段衡量角度问题的计算手段，二次函数角的存在性压轴专题应用更为突出）①若有已知的相等角，则其顶点对应；②若没有相等的角，则让不确定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。第二步：确定相似后，根据对应边成比例求解动点坐标：①若已知三角形各边已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小；②若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后用相似来列方程求解。压轴题预测题型一：等腰三角形的存在性1．（2024•运城模拟）综合与探究如图，抛物线233642yxx与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，是第一象限抛物线上的一个动点，若点的横坐标为，连接，，，．（1）求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式．（2）当四边形的面积有最大值时，求出的值．（3）在（2）的条件下，在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．第3页共224页2．（2024•青岛一模）如图1，已知二次函数的图象与轴交于点．与轴交于点，，点坐标为，连接、．（1）请直接写出二次函数的表达式；（2）判断的形状，并说明理由；（3）如图2，若点在线段上运动（不与点，重合），过点作，交于点，当面积最大时，求此时点的坐标；（4）若点在轴上运动，当以点，，为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点的坐标．3．（2024•辽宁一模）如图1，正方形的顶点，的坐标分别为，，顶点，在第一象限．点从点出发，沿正方形按方向运动，同时，点从点出第4页共224页发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为，的面积（平方单位）．（1）正方形的边长为；（2）当点由点运动到点时，过点作轴交轴于点，已知随着点在上运动时，的面积与时间之间的函数图象为抛物线的一部分（如图2所示），求：①点，两点的运动速度为；②关于的函数关系式为；（3）当点由点运动到点时，经探究发现的面积是关于时间的二次函数，其中与部分对应取值如下表：1015202876求：的值及关于的函数关系式．（4）在（2）的条件下若存在2个时刻，对应的的形状是以为腰的等腰三角形，点沿正方形按方向运动时直接写出当时，...