小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com正方形存在性问题巩固练习1．如图，抛物线y＝﹣ax2+bx+5过点（1，2）、（4，5），交y轴于点B，直线AB经过抛物线顶点A，交x轴于点C，请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点Q在平面内，在第一象限内是否存在点P，使以A，B，P，Q为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式即可求得a、b的值，可求得抛物线解析式；（2）可先求得A、B两点的坐标，可求得AB长度，分别过A、B两点作AB的垂线，则点P可以在这两条直线上，且PA＝AB或PB＝AB，分别求得两垂线的解析式，设出点P的坐标，再根据线段相等可列出方程，可求得点P的坐标．【解答】解：（1） 抛物线y＝﹣ax2+bx+5过点（1，2）、（4，5），∴{−a+b+5=2−16a+4b+5=5，解得{a=−1b=−4，∴抛物线解析式为y＝x24﹣x+5；（2）在y＝x24﹣x+5中，令x＝0可得y＝5，∴B（0，5）， y＝x24﹣x+5＝（x2﹣）2+1，∴A（2，1），∴AB¿❑√22+¿¿2❑√5，设直线AB解析式为y＝kx+n，则有{2k+n=1n=5，解得{k=−2n=5，∴直线AB解析式为y＝﹣2x+5，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com①当PA⊥AB时，如图1，可设直线PA解析式为y¿12x+m，把A（2，1）代入可得1+m＝1，解得m＝0，∴直线PA解析式为y¿12x，∴可设点P坐标为（x，12x），∴PA¿❑√¿¿， 四边形PABQ为正方形，∴PA＝AB，即❑√¿¿2❑√5，解得x＝﹣2或x＝6 点P在第一象限内，∴x＝﹣2不符合题意，舍去，故x＝6，此时P点坐标为（6，3）；②当PB⊥AB时，如图2，可设直线PB解析式为y¿12x+s，把B（0，5）代入可得s＝5，∴直线PB解析式为y¿12x+5，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴可设P点坐标为（x，12x+5），∴PB¿❑√x2+¿¿，同理可得❑√x2+¿¿2❑√5，解得x＝﹣4（舍去）或x＝4，此时P点坐标为（4，7），当AB是正方形的对角线时，因为等P在第一象限，可得P（3，4），综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（6，3）或（4，7）或（3，4）．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，注意利用正方形的性质列方程．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以每秒3cm的速度向点B移动，点Q以每秒2cm测得速度向点D移动，当点P到达点B处时，两点均停止移动（1）P，Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为10cm？（2）是否存在某一时刻，使四边形PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．【分析】（1）过点P作PH⊥CD，利用勾股定理解答即可；（2）利用正方形的性质进行解答即可．【解答】解：（1）过点P作PH⊥CD于点H，∴HQ＝165﹣t，∴PQ2＝PH2+HQ2，即102＝（165﹣t）2+62，解得：t1=85，t2=245，答：P，Q两点出发85或245秒，线段PQ的长度为10cm；（2） 四边形PBCQ是正方形，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴BP＝CQ，即163﹣t＝2t，解得：t¿165， CQ=2t=325≠6，∴不成立．【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据利用正方形的性质进行解答．3．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠B＝60°，点P以每秒2个单位速度，从点B出发沿射线BA方向运动，同时直线l以每秒1个单位速度，从CD出发沿射线CB方向运动，分别交BC，AC于点G，H，连结PG，设运动的时间为t，当G与B重合时，运动停止．（1）当t为何值时，以P，G，H，A为顶点的四边形是平行四边形；（2）在运动过程中，是否存在以P，G，H，A为顶点的...