小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com几何最值之费马点知识精讲皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有"业余数学家之王"的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的"费马小定理"、"费马大定理"等.今天所讲的问题不是费马提出来的，而是他解决的，因此又叫费马点，问题如下：问题：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小.解答：若点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点.1.如何作出费马点第一步：分别以AB、AC为边作等边△ABD与等边△ACE，如图所示：第二步：连接CD、BE，即可得到△ADC△≌ABE，如图所示：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第三步：此时CD、BE的交点即为点P（费马点），第四步：以BC为边，作等边△BCF，连接AF，AF必过点P，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º.注：上述结论成立有个前提条件，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，对应的图如下所示：此时费马点就是最大角的顶点A，这种情况不会考，了解即可，接下来的研究，都是默认最大角小于小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com120º.接下来就是要证明，证明分两部分，一部分过三角形两条边向外作等边三角形，连接CD、BE，这两条线的交点为什么就是费马点？另一部分就是为什么费马点到对应顶点的连线之和是最小的.如下图所示，在△AEB与△ACD中，∵AB＝AD，AE＝AC，∠BAE＝∠DAC＝∠BAC＋60º，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ADC，在△BPM与△DAM中，∵∠BMP＝∠DMA，∴∠BPM＝∠DAM＝60º，∴∠BPC＝120º；在PD上截取PG＝PB，连接PA、BG，如下图所示：由题意可得△BPG为等边三角形，则PB＝BG，易证△ABP≌△DBG，∴PA＝GD，∠APB＝∠DGB＝120º，∴∠APC＝120º，∴PA＋PB＋PC＝GD＋PG＋PC＝CD.接下来只需证明CD为最短的线段，那么以上的问题都可以得证了！如下图所示，在△ABC中任取一个异于点P的点Q，连接QA、QB、QC、QD，将△ABQ绕着点A顺时针小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com方向旋转60º得到，则△ABQ与重合，且在线段DQ上或DQ外，易证是等边三角形.由题意可得，即CD为最短的线段.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com