小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com垂直模型巩固练习（提优）1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，求BD的长．【解答】BD＝【解析】连接AD， AB的垂直平分线交AB于E，∴AD＝BD，设BD＝x，则AD＝8﹣x，在Rt△ACD中， AC＝3，CD＝8﹣x，AD＝x，∴AC2+CD2＝AD2，即32+（8﹣x）2＝x2，解得x＝，即BD＝．2．已知：如图，△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠BCA的平分线与AB边的垂直平分线相交于点D，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E、F．（1）求证：AE＝BF；（2）求AE的长；（3）求线段DG的长．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解答】（1）见解析；（2）AE＝1；（3）DG＝5【解析】（1）证明：如图连接AD、BD． ∠DCE＝∠DCB，DE⊥CA，DF⊥CB，∴DE＝DF，∠AED＝∠DFB＝90°， DG垂直平分AB，∴DA＝DB，在RT△DEA和RT△DFB中，，∴△DEA≌△DFB，∴AE＝BF．（2）设AE＝BF＝x，在RT△CDE和RT△CDF中，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴△CDE≌△CDF，∴CE＝CF，∴6+x＝8﹣x，∴x＝1，∴AE＝1．（3） △DEA≌△DFB，∴∠ADE＝∠BDF，∴∠EDF＝∠ADB， AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°， ∠CED＝∠CFD＝∠ECF＝90°，∴∠EDF＝90°，∴∠ADB＝90°， AG＝GB，∴DG＝AB＝5．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．【解答】（1）DE⊥DP，理由见解析；（2）DE＝4.75【解析】（1）DE⊥DP，理由如下： PD＝PA，∴∠A＝∠PDA， EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴∠B＝∠EDB， ∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，∴DE⊥DP；（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x， ∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，∴42+（8﹣x）2＝22+x2，解得：x＝4.75，则DE＝4.75．4．（1）如图1，将两个全等的三角板如图摆放，其中△ABC和△ADE的直角顶点重合在点A处，∠ADE＝∠ABC＝60°，且点D在AC上，点B在AE上，∠C＝∠E＝30°，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，BC和DE相交于点F．求证：CF＝EF．（2）如图2，将这两个三角板如图摆放，直角顶点A仍然重合，BC与DE相交于点F，AC与DE交于点M，AE和BC交于点N．猜想CF和EF还相等吗？说明理由．（3）如图3，在（2）的基础上，若∠DAM＝30°．求证：线段DF和AC互相垂直平分．【解答】（1）见解析；（2）相等，理由见解析；（3）见解析小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解析】（1）证明： AB＝AD，AC＝AE∴AC﹣AD＝AE﹣AB，即CD＝EB，在△CDF和△EBF中，，∴△CDF≌△EBF（AAS）∴CF＝EF；（2）相等．理由如下： ∠CAB＝∠EAD＝90°，∴∠CAB﹣∠CAE＝∠EAD﹣∠CAE，即∠BAN＝∠DAM，在△BAN和△DAM中，，∴△BAN≌△DAM（ASA）∴AN＝AM，∴AC﹣AM＝AE﹣AD，即CM＝EN，在△CMF和△ENF中，，∴△CMF≌△ENF（AAS）∴CF＝EF；（3）证明：连接AF，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com当∠DAM＝30°时，∠AMD＝180°﹣∠D﹣∠DAM＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC⊥DF，即∠AMD＝∠AMF＝∠CMF＝90°，∠CAN＝∠DAE﹣∠DAM＝90°﹣30＝60°，在△ACF和△AEF中，，∴△ACFA≌△AEF（SSS），∴∠CAF＝∠EAF，∴∠CAF＝∠EAF＝∠C...