小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题12动点最值之费马点模型费马点模型：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小.当点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点.特别地，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）费马点的性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。费马点最小值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值证明过程：将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE例题1.已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。∠AGC=AGB=BGC=120°.∠∠求证：GA+GB+GC的值最小.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解析】证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则△CGBCPD△≌；∴∠CPD=CGB=120°,CG=CP,GB=PD,BC=DC,GCB=PCD.∠∠∠ ∠GCP=60°,BCD=60°,GCP∴∠∴△和△BCD都是等边三角形。 ∠AGC=120°,CGP=60°.A∴∠、G、P三点一线。 ∠CPD=120°,CPG=60°.G∠∴、P、D三点一线。∴AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。 GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.∴G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点例题2.已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求正方形的边长．【解析】如图，连接AC，把△AEC绕点C顺时针旋转60°，得到△GFC，连接EF、BG、AG，可知△EFC、△AGC都是等边三角形，则EF=CE．又FG=AE，∴AE+BE+CE=BE+EF+FG． 点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60°所得）．∴线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上．设正方形的边长为，那么小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comBO=CO=，GC=,GO=．∴BG=BO+GO=+． 点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为．∴+=，解得=2．【变式训练1】已知点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点。已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点。若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD＋PE＋PF＝.【答案】【解析】如图，在等腰RtDEF△中，，过点D作DMEF⊥于点M，过E、f分别作∠MEP＝∠MFP＝30°，则EM＝DM＝1，，解得，则，，.【变式训练2】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comABCDMEFGEMDCBAHFGEMDCBA【解析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF∴ME+MA+MD=ME+EG+GF过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．【变式训练3】如图，P是锐角△ABC所在平面上一点，如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P就叫做△ABC费马点。（1）当△ABC是边长为4的等边三角形时，费马点P到BC边的距离为；（2）若点P是△ABC的费马点，∠ABC＝60°，PA＝2，PC＝3，则PB的值为；（3）如图2，在锐角△BC外侧作等边△ACB'，连接BB'.求证：BB'过△ABC的费马点P.【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】（1）延长AP，交BC于D，如图所示： AB＝AC＝BC，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，∴P为三角形的内心，∴ADBC⊥，BD＝CD＝2，∠PBD＝30°，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归...