OFABCDE圆综合练习题一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）1.如图，为⊙O的直径，为弦，，交于，，．（1）求证：，并求的长；（2）延长到，使，连接，判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由.1．解：，.，．又，．．．（舍负）．（2）直线与相切．连接．为的直径，．在中，由勾股定理，得．．，．（或，是等边三角形，．，．）．⊥．又点A在圆上，直线与相切．2.已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；（3）求图中阴影部分的面积．2．（1）证明：连接DO. 是等边三角形，∴∠C=60°，∠A=60°，DFEBCOAFEDCBOA OA=OD，∴是等边三角形.∴∠ADO=60°. DF⊥BC，∴∠CDF=30°.∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF=90°.∴DF为⊙O的切线.（2） 是等边三角形，∴CD=AD=AO=AB=2.Rt中，∠CDF=30°，∴CF=CD=1.∴DF=.（3）连接OE，由（2）同理可知E为CB中点，∴. ，∴.∴．∴．∴．3、如图，已知圆O的直径垂直于弦于点，连接并延长交于点，且．（1）请证明：是的中点；（2）若，求的长．3、（1）证明：连接，如图，且过圆心，，是等边三角形．在中，，点为的中点（2）解：在中，又，4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=60，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，连结OC，过点C作交PQ于点D．（1）求证：△CDQ是等腰三角形；（2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．FEDCBOACEBODFA4．（1）证明：由已知得∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠Q=30°，∠BCO=∠ABC=30°. CD⊥OC，∴∠DCQ=∠BCO=30°，∴∠DCQ=∠Q，∴△CDQ是等腰三角形.（2）解：设⊙O的半径为1，则AB=2，OC=1，AC=，BC=. 等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，∴CQ=BC=. AQ=AC+CQ=1+，AP=，∴BP=AB－AP=PO=AP－AO=，∴BP∶PO=.5．已知:如图,BD是半圆O的直径,A是BD延长线上的一点，BC⊥AE，交AE的延长线于点C,交半圆O于点E，且E为的中点.（1）求证：AC是半圆O的切线；（2）若，求的长．5.解：（1）连接OE, E为的中点，∴．∴. ，∴.∴.∴OE∥BC. BC⊥AC，∴∠C=90°.∴∠AEO=∠C=90°.即OE⊥AC.又OE为半圆O的半径，∴AC是半圆O的切线.（2）设的半径为， ，∴.∴.∴. OE∥BC，∴.∴.即∴.6.如图，ABC△内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，且AB2=AP·AD（1）求证：ABAC；（2）如果60ABC，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长.6.解：（1）证明：联结BP． AB2=AP·AD，∴=． ∠BAD=∠PAB，∴△ABD∽△APB，∴∠ABC=∠APB， ∠ACB=∠APB，∴∠ABC=∠ACB．∴AB=AC.（2）由（1）知AB=AC． ∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形．OPDCBADCBAOP∴∠BAC=60°， P为弧AC的中点，∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°，∴∠BAP=90°，∴BP是⊙O的直径，∴BP=2，∴AP=BP=1，在Rt△PAB中，由勾股定理得AB2=BP2－AP2=3，∴AD==3．7．如图，在△ABC中，∠C=90°,AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点,以OA为半径的⊙O经过点D.（1）求证：BC是⊙O切线；（2）若BD=5,DC=3,求AC的长.7.（1）证明:如图1，连接OD. OA=OD,AD平分∠BAC,∴∠ODA=∠OAD,∠OAD=∠CAD.∴∠ODA=∠CAD.∴OD//AC.∴∠ODB=∠C=90.∴BC是⊙O的切线.图1（2）解法一:如图2，过D作DE⊥AB于E.∴∠AED=∠C=90.又 AD=AD,∠EAD=∠CAD,∴△AED≌△ACD.∴AE=AC,DE=DC=3.在Rt△BED中，∠BED=90,由勾股定理，得BE=.图2设AC=x（x>0）,则AE=x.在Rt△ABC中，∠C=90,BC=BD+DC=8,AB=x+4,由勾股定理，得x2+82=(x+4)2.解得x=6.即AC=6.解法二:如图3，延长AC到E，使得AE=AB. AD=AD,∠EAD=∠BAD,∴△AED≌△ABD.∴ED=BD=5.在Rt△DCE中，∠DCE=90,由勾股定理，得CE=.………………………5分图3在Rt△ABC中，∠ACB=90,BC=BD+DC=8,由勾股定理，得AC2+BC2=AB2.即AC2+82=(AC+4)2.解得AC=6.8．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CDAB⊥于E，连结AC、OC、BC.（1）求证：∠ACO=BCD∠；（2）若BE=2，CD=8，求AB和AC的长.OACDBDCAOBEBDCAOEBDCAOABCDEOGF8、证明：（1...