小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com三年专题04导数及其应用（解答题）（文科专用）1．【2022年全国甲卷】已知函数f(x)=x3−x,g(x)=x2+a，曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线．(1)若x1=−1，求a；(2)求a的取值范围．【答案】(1)3(2)[−1,+∞)【解析】【分析】（1）先由f(x)上的切点求出切线方程，设出g(x)上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出a即可；（2）设出g(x)上的切点坐标，分别由f(x)和g(x)及切点表示出切线方程，由切线重合表示出a，构造函数，求导求出函数值域，即可求得a的取值范围.(1)由题意知，f(−1)=−1−(−1)=0，f'(x)=3x2−1，f'(−1)=3−1=2，则y=f(x)在点(−1,0)处的切线方程为y=2(x+1)，即y=2x+2，设该切线与g(x)切于点(x2,g(x2))，g'(x)=2x，则g'(x2)=2x2=2，解得x2=1，则g(1)=1+a=2+2，解得a=3；(2)f'(x)=3x2−1，则y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为y−(x13−x1)=(3x12−1)(x−x1)，整理得y=(3x12−1)x−2x13，设该切线与g(x)切于点(x2,g(x2))，g'(x)=2x，则g'(x2)=2x2，则切线方程为y−(x22+a)=2x2(x−x2)，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com整理得y=2x2x−x22+a，则¿，整理得a=x22−2x13=(3x122−12)2−2x13=94x14−2x13−32x12+14，令ℎ(x)=94x4−2x3−32x2+14，则ℎ'(x)=9x3−6x2−3x=3x(3x+1)(x−1)，令ℎ'(x)>0，解得−13<x<0或x>1，令ℎ'(x)<0，解得x<−13或0<x<1，则x变化时，ℎ'(x),ℎ(x)的变化情况如下表：x(−∞,−13)−13(−13,0)0(0,1)1(1,+∞)ℎ'(x)−0+¿0−0+¿ℎ(x)↘527↗14↘−1↗则ℎ(x)的值域为[−1,+∞)，故a的取值范围为[−1,+∞).2．【2022年全国乙卷】已知函数f(x)=ax−1x−(a+1)lnx．(1)当a=0时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．【答案】(1)−1(2)(0,+∞)【解析】【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；（2）求导得f'(x)=(ax−1)(x−1)x2，按照a≤0、0<a<1及a>1结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.(1)小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com当a=0时，f(x)=−1x−lnx,x>0，则f'(x)=1x2−1x=1−xx2，当x∈(0,1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；所以f(x)max=f(1)=−1；(2)f(x)=ax−1x−(a+1)lnx,x>0，则f'(x)=a+1x2−a+1x=(ax−1)(x−1)x2，当a≤0时，ax−1≤0，所以当x∈(0,1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；所以f(x)max=f(1)=a−1<0，此时函数无零点，不合题意；当0<a<1时，1a>1，在(0,1),(1a,+∞)上，f'(x)>0，f(x)单调递增；在(1,1a)上，f'(x)<0，f(x)单调递减；又f(1)=a−1<0，当x趋近正无穷大时，f(x)趋近于正无穷大，所以f(x)仅在(1a,+∞)有唯一零点，符合题意；当a=1时，f'(x)=(x−1)2x2≥0，所以f(x)单调递增，又f(1)=a−1=0，所以f(x)有唯一零点，符合题意；当a>1时，1a<1，在(0,1a),(1,+∞)上，f'(x)>0，f(x)单调递增；在(1a,1)上，f'(x)<0，f(x)单调递减；此时f(1)=a−1>0，又f(1an)=1an−1−an+n(a+1)lna，当n趋近正无穷大时，f(1an)趋近负无穷，所以f(x)在(0,1a)有一个零点，在(1a,+∞)无零点，所以f(x)有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为(0,+∞).【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com与极值的问题.3．【2021年甲卷文科】设函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据及（1）的单调性性可...
