小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com三年专题06立体几何（解答题）（理科专用）1．【2022年全国甲卷】在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=❑√3．(1)证明：BD⊥PA；(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)❑√55.【解析】【分析】（1）作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，利用勾股定理证明AD⊥BD，根据线面垂直的性质可得PD⊥BD，从而可得BD⊥平面PAD，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点D为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.(1)证明：在四边形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，因为CD/¿AB,AD=CD=CB=1,AB=2，所以四边形ABCD为等腰梯形，所以AE=BF=12，故DE=❑√32，BD=❑√DE2+BE2=❑√3，所以AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD，因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以PD⊥BD，又PD∩AD=D，所以BD⊥平面PAD，又因PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA；(2)解：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，BD=❑√3，则A(1,0,0),B(0,❑√3,0),P(0,0,❑√3)，则⃗AP=(−1,0,❑√3),⃗BP=(0,−❑√3,❑√3),⃗DP=(0,0,❑√3)，设平面PAB的法向量⃗n=(x,y,z)，则有{n→⋅AP→=−x+❑√3z=0n→⋅BP→=−❑√3y+❑√3z=0，可取⃗n=(❑√3,1,1)，则cos〈⃗n,⃗DP〉=⃗n⋅⃗DP¿⃗n∨¿⃗DP∨¿=❑√55¿，所以PD与平面PAB所成角的正弦值为❑√55.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2．【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．(1)证明：平面BED⊥平面ACD；(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．【答案】(1)证明过程见解析(2)CF与平面ABD所成的角的正弦值为4❑√37【解析】【分析】（1）根据已知关系证明△ABD≌△CBD，得到AB=CB，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）根据勾股定理逆用得到BE⊥DE，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.(1)因为AD=CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE；在△ABD和△CBD中，因为AD=CD,∠ADB=∠CDB,DB=DB，所以△ABD≌△CBD，所以AB=CB，又因为E为AC的中点，所以AC⊥BE；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com又因为DE,BE⊂平面BED，DE∩BE=E，所以AC⊥平面BED，因为AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.(2)连接EF，由（1）知，AC⊥平面BED，因为EF⊂平面BED，所以AC⊥EF，所以S△AFC=12AC⋅EF，当EF⊥BD时，EF最小，即△AFC的面积最小.因为△ABD≌△CBD，所以CB=AB=2，又因为∠ACB=60°，所以△ABC是等边三角形，因为E为AC的中点，所以AE=EC=1，BE=❑√3，因为AD⊥CD，所以DE=12AC=1,在△DEB中，DE2+BE2=BD2，所以BE⊥DE.以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E−xyz，则A(1,0,0),B(0,❑√3,0),D(0,0,1)，所以⃑AD=(−1,0,1),⃑AB=(−1,❑√3,0)，设平面ABD的一个法向量为⃑n=(x,y,z)，则¿，取y=❑√3，则⃑n=(3,❑√3,3)，又因为C(−1,0,0),F(0,❑√34,34)，所以⃑CF=(1,❑√34,34)，所以cos⟨⃑n,⃑CF⟩=⃑n⋅⃑CF|⃑n||⃑CF|=6❑√21×❑√74=4❑√37，设CF与平面ABD所成的角的正弦值为θ(0≤θ≤π2)，所以sinθ=|cos⟨⃑n,⃑CF⟩|=4❑√37，所以CF与平面ABD所成的角的正弦值为4❑√37.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com3．【2022年新高考1卷】如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2❑√2．(1)求A到平面A1BC的距离；(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A−BD−C的正弦值．【答...