第1页，共8页2024-2025学年浙江省宁波市六校高一下学期4月期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数𝑧满足𝑧=2𝑖+1，则𝑧2的虚部为()A.−3B.2𝑖C.4D.4𝑖2.在△𝐴𝐵𝐶中，设𝐴𝐵=𝑎，𝐴𝐶=𝑏，𝐵𝐷=2𝐷𝐶，𝐴𝐸=4𝐸𝐷，则𝐵𝐸=()A.1115𝑎−815𝑏B.13𝑎−815𝑏C.−13𝑎+815𝑏D.−1115𝑎+815𝑏3.如图所示，用符号语言可表达为()A.𝛼⋂𝛽=𝑚，𝑛⊂𝛼，𝑚⋂𝑛=𝐴；B.𝛼⋂𝛽=𝑚，𝑛∈𝛼，𝑚⋂𝑛=𝐴；C.𝛼⋂𝛽=𝑚，𝑛⊂𝛼，𝐴⊂𝑚，𝐴⊂𝑛；D.𝛼⋂𝛽=𝑚，𝑛∈𝛼，𝐴∈𝑚，𝐴∈𝑛；4.下面关于空间几何体的叙述：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③正四棱柱都是长方体；④直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥；⑤平行六面体是六棱柱．其中叙述正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个5.在△𝐴𝐵𝐶中，已知𝐵=120°，𝐴𝐶=19，𝐴𝐵=2，则𝐵𝐶=()A.5B.3C.2D.16.为了测量某一塔𝐸𝐷的高，小明在山下𝐴处测得塔尖点𝐷的仰角为45°，再沿𝐴𝐶方向前进24.4米到达山脚点𝐵，测得塔尖点𝐷的仰角为60°，塔底点𝐸的仰角为30°，那么此塔高约为()(3≈1.7，2≈1.4)第2页，共8页A.37.54B.38.23C.39.53D.40.527.如图，△𝑂′𝐴′𝐵′是水平放置的△𝑂𝐴𝐵用斜二测画法画出的直观图(图中虚线分别与𝑥′轴和𝑦′轴平行)，𝑂′𝐵′=2𝑂′𝐷′=6，𝑂′𝐶′=8，则△𝑂𝐴𝐵的面积为()A.82B.122C.24D.488.如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=𝜋4，𝐴𝐶=2，𝐵𝐶=6+2.在△𝐴𝐵𝐶所在的平面内，有一个边长为1的正方形𝐴𝐷𝐸𝐹绕点𝐴按逆时针方向旋转(不少于1周)，则𝐴𝐸⋅𝐷𝐵的取值范围是()A.[−5,5]B.[−5,3]C.[−3,3]D.[−3,5]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知𝑎=(3,−1)，𝑏=(1,2)，则下列结论中正确的是()A.|𝑎+𝑏|=17B.𝑎与𝑏的夹角余弦值为25C.与𝑏同向共线的单位向量是55,255D.向量𝑎在向量𝑏上的投影向量为15,2510.在△𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，下列说法中正确的是()A.若sin2𝐴=sin2𝐵，则△𝐴𝐵𝐶为等腰三角形B.若𝐴𝐵⋅𝐴𝐶=2，𝑎=2，则𝑏2+𝑐2=8C.若△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形，则sin𝐴>cos𝐵D.若𝑏=8，𝑐=10，𝐵=𝜋3，则△𝐴𝐵𝐶解的个数为2第3页，共8页11.在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫𝑇𝑟𝑢𝑙𝑙𝑖，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个𝑇𝑟𝑢𝑙𝑙𝑖的屋顶，得到圆锥𝑆𝑂(其中𝑆为顶点，𝑂为底面圆心)，母线𝑆𝐴的长为6𝑚，𝐶是母线𝑆𝐴上靠近点𝑆的三等分点．从点𝐴到点𝐶绕屋顶侧面一周安装灯光带，灯光带的最小长度为213𝑚.下面说法正确的是()A.圆锥𝑆𝑂的侧面积为12𝜋𝑚2B.过点𝑆的平面截此圆锥所得截面面积最大值为82𝑚2C.圆锥𝑆𝑂的外接球的表面积为72𝜋𝑚2D.棱长为3𝑚的正四面体在圆锥𝑆𝑂内可以任意转动三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知𝑖是虚数单位，则|2+𝑖2+2𝑖3|=________．13.如图，设𝑂𝑥，𝑂𝑦是平面内相交成60°角的两条数轴，𝑒1，𝑒2分别是与𝑥轴、𝑦轴正方向同向的单位向量．若向量𝑝=𝑂𝑃=𝑥𝑒1+𝑦𝑒2，则把有序数对(𝑥,𝑦)叫做向量𝑝在斜坐标系𝑂𝑥𝑦中的坐标．设向量𝑎，𝑏在斜坐标系𝑥𝑂𝑦中的坐标分别为(2,1)，(−3,2)，则𝑎⋅𝑏=________．14.在△𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴，𝐵，𝐶对应的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，若2𝑠𝑖𝑛2𝐶=sin2𝐴+sin2𝐵，则𝑎𝑏的取值范围为________．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知平面向量𝑎=(1,−3),𝑏=(2,𝑥),𝑐=(−3,𝑥+5)．(1)若𝑎⊥𝑎+𝑏，求|𝑏|；(2)若𝑎+𝑏//𝑐，求向量𝑎与𝑏的夹角．16.(本小题15分)已知复数𝑧=1+𝑚𝑖(𝑖是虚数单位，𝑚∈𝑅)，且𝑧⋅(3+𝑖)为纯虚数．(Ⅰ)设复数𝑧1=𝑚+2𝑖1−𝑖，求|𝑧1|；(Ⅱ)设复数𝑧2=𝑎−𝑖2025𝑧，且复数𝑧2所对应的点在第一象限，求实数𝑎的取值范围．17.(本小题15分)第4页，共8页现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，如图所示，上...