第1页，共9页2024-2025学年湖北省襄阳市第四中学高一下学期3月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.cos330∘+tan600∘=()A.1−32B.1+32C.32D.3322.“点𝑃(sin𝜃,tan𝜃)在第二象限”是“角𝜃为第三象限角”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知平面向量𝑎，𝑏，满足𝑎⋅𝑏=−3，|𝑎+𝑏|=1，|𝑏|=3，则向量𝑎与𝑏的夹角为()A.𝜋6B.𝜋3C.2𝜋3D.5𝜋64.若6𝑥=25，5𝑦=6，则𝑥𝑦=()A.3B.12C.32D.25.已知定义域为𝑅的偶函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥)+𝑓(4−𝑥)=6，则𝑓(10)=()A.3B.2C.6D.106.已知函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥)=𝑓(𝜋−𝑥)，且当𝑥∈−𝜋2,𝜋2时，𝑓(𝑥)=𝑥+tan𝑥，则()A.𝑓(1)<𝑓(2)<𝑓(3)B.𝑓(2)<𝑓(3)<𝑓(1)C.𝑓(3)<𝑓(2)<𝑓(1)D.𝑓(3)<𝑓(1)<𝑓(2)7.如图，在▵𝐴𝐵𝐶中，点𝑂是𝐵𝐶的中点，过点𝑂的直线分别交直线𝐴𝐵，𝐴𝐶于不同的两点𝑀,𝑁，若𝐴𝐵=𝑚𝐴𝑀，𝐴𝐶=𝑛𝐴𝑁，𝑚>0,𝑛>0，则2𝑚+8𝑛的最小值()A.2B.8C.9D.18第2页，共9页8.已知函数𝑓(𝑥)=sin2𝑥−𝜋3，若方程𝑓(𝑥)=𝑎(𝑎>0)在(0,𝜋)的解为𝑥1,𝑥2(𝑥1<𝑥2)，且sin(𝑥1−𝑥2)=−223，则𝑎=()A.223B.32C.12D.13二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题为假命题的有()A.若“𝑥>𝑦”，则“sin𝑥>sin𝑦”B.若“cos𝛼=cos𝛽”，则“𝛼=𝛽+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍”C.函数𝑓(𝑥)=2(𝑥2−2𝑎𝑥+5)的单调递减区间为(−∞,𝑎]D.函数𝑦=2−𝑐𝑜𝑠2𝑥+4𝑠𝑖𝑛2𝑥的最小值为510.对于任意两个非零向量𝑎和𝑏，下列命题中正确的是()A.𝑎2=|𝑎|2B.|𝑎2−𝑏2|=|𝑎+𝑏|⋅|𝑎−𝑏|C.𝑎⋅𝑏≤|𝑎|⋅|𝑏|D.向量𝑎|𝑎|+𝑏|𝑏|与向量𝑎|𝑎|−𝑏|𝑏|垂直11.下列结论正确的有：()A.cos4𝛼+4cos2𝛼+3=8𝑐𝑜𝑠4𝛼B.1+sin2𝛼2𝑐𝑜𝑠2𝛼+sin2𝛼=12tan𝛼+1C.sin2𝛼+𝛽sin𝛼−2cos(𝛼+𝛽)=sin𝛽sin𝛼D.3−4cos2𝐴+cos4𝐴3+4cos2𝐴+cos4𝐴=𝑡𝑎𝑛4𝐴三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量𝑎=(𝜆,2)，𝑏=(−1,3)，若𝑎//𝑎+𝑏，则𝜆=．13.若sin(𝛼−𝛽)cos𝛼−cos(𝛽−𝛼)sin𝛼=35，则cos(2𝛽−𝜋)=．第3页，共9页14.已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔>0,0<𝜑<𝜋2)的部分图象如图所示，其中𝐵，𝐶两点的纵坐标相等，若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑎𝑥)(𝑎>0)在𝜋3,𝜋上恰有3个零点，则实数𝑎的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知两个单位向量𝑒1与𝑒2的夹角为𝜋3，设𝑎=2𝑒1+𝑒2，𝑏=𝑡𝑒1−3𝑒2．(1)求|𝑎+𝑏|最小值；(2)若𝑎与𝑏的夹角为钝角，求𝑡的取值范围．16.(本小题15分)已知函数𝑓(𝑥)=2cos2𝑥sin2𝑥+𝜋4−22．(1)求𝑓(𝑥)的最小正周期和单调递增区间；(2)将𝑓(𝑥)的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到函数𝑔(𝑥)的图象，当𝑥∈0,𝜋2时，求不等式𝑔(𝑥)>32的解集．17.(本小题15分)已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔3𝑥+𝑏𝑙𝑜𝑔𝑥9+2，𝑥∈(0,1)∪(1,+∞)．(1)若𝑏=−1，求方程𝑓(𝑥)=1的解；(2)∃𝜃∈−2𝜋3,2𝜋3，不等式𝑓(𝑥)≥3sin𝜃+8对于∀𝑥∈[3,27]恒成立，求实数𝑏的取值范围．18.(本小题17分)为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边𝐴𝐵为半圆的直径，𝑂为半圆的圆心，𝐴𝐵=2𝐴𝐷=100𝑚，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域𝑃𝑀𝑁种植观赏树木，其余区域种植花卉(其中𝑃，𝑀，𝑁分别在线段𝐴𝐷，𝐷𝐶，圆弧𝐴𝐵上且底边𝑀𝑁⊥𝐶𝐷).设∠𝑀𝑂𝐵=𝜃，𝜃∈0,𝜋2．第4页，共9页(1)当𝜃=𝜋3时，求▵𝑃𝑀𝑁的面积；(2)求三角形区域𝑃𝑀𝑁面积的最大值．19.(本小题17分)已知两个函数𝑌=𝑓(𝑥)，𝑥∈𝐷1，𝑦=𝐹(𝑥)，𝑥∈𝐷2，若对任意的𝑥1∈𝐷1，存在唯一的𝑥2∈𝐷2，使得𝑓(𝑥1)𝐹(𝑥2)=1成立，则称𝐹(𝑥)为𝑓(𝑥)的“友好函数”．(1)判断函数𝐺(𝑥)=cos𝑥，𝑥∈[0,𝜋]是否为𝑔(𝑥)=sin𝑥，𝑥∈[0,𝜋]的“友好函数”，并说明理由;(2)若函数𝐻(𝑥)=log2𝑥，𝑥∈[𝑚,𝑛]是ℎ(𝑥)=2𝑥，𝑥∈[−2,−1]的“友好函数”，求𝑛−𝑚的最...