学科网（北京）股份有限公司高一数学试题答案一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案DBCBADCA二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.答案：AD10.答案：ABC11.答案：BCD三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分12.答案：−51213.答案：1314.答案：4π四、解答题：本题共5小题，共77分15.（本小题满分15分）解由角α的终边过点P−35,−45,得cosα=-35,sinα=-45,(1)sin(α+π)=-sinα=45。(2)由sin(α+β)=513,得cos(α+β)=±1213。由β=(α+β)-α,得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,所以cosβ=-5665或cosβ=1665。16.（本小题满分15分）解(1)证明:设𝑂𝐴=a,𝑂𝐵=b。由题意知𝑂𝐺=23×12(𝑂𝐴+𝑂𝐵)=13(a+b),𝑃𝑄=𝑂𝑄−𝑂𝑃=nb-ma,𝑃𝐺=𝑂𝐺−𝑂𝑃=13−𝑚a+13b,由P,G,Q三点共线,得存在实数λ,使得𝑃𝑄=λ𝑃𝐺,即nb-ma=λ13−𝑚a+13λb,从而−𝑚=𝜆13−𝑚,𝑛=13𝜆,学科网（北京）股份有限公司消去λ,得1𝑛+1𝑚=3。(2)由(1),知1𝑚+1𝑛=3,于是m+n=131𝑚+1𝑛(m+n)=132+𝑛𝑚+𝑚𝑛≥13(2+2)=43。当且仅当m=n=23时,m+n取得最小值,最小值为43。17.（本小题满分15分）解(1)m·n=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B),在△ABC中,A+B=π-C,0<C<π,所以sin(A+B)=sinC,所以m·n=sinC。又m·n=sin2C,所以sin2C=sinC,得cosC=12。又因为C∈(0,π),故C=π3。(2)由sinA,sinC,sinB成等差数列,可得2sinC=sinA+sinB,由正弦定理,得2c=a+b。因为𝐶𝐴·(𝐴𝐵−𝐴𝐶)=18,所以𝐶𝐴·𝐶𝐵=18,即abcosC=18,所以ab=36。由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab,所以c2=4c2-3×36,所以c2=36,所以c=6。18.（本小题满分16分）解(1)证明:如图,连接AC,交BD于点O,连接OH,在△PBH中,E,G分别为PB,PH的中点,所以EG∥BH,又EG⊄平面BDH,BH⊂平面BDH,所以EG∥平面BDH,同理可得AG∥OH,AG∥平面BDH,因为AG,EG⊂平面AEG,AG∩EG=G,所以平面AEG∥平面BDH。(2)记点A到平面BDH,点H到平面ABD的距离分别为hA,hH。S△ABD=12×2×2×32=3。因为PA⊥平面ABCD,PA=2,CH=13CP,所以hH=13𝑃𝐴=23。在△PBC中,PB=PC=22,BC=2,所以cos∠PCB=122=24。在△BCH中,BH2=BC2+CH2-2BC·CH·cos∠HCB=329,则BH=423,同理可得DH=423。在△BDH中,BH=DH=423,BD=23,所以S△BDH=12×23×329−3=153。连接AH,因为VA⁃BDH=VH⁃ABD,所以hA=𝑆△𝐴𝐵𝐷·ℎ𝐻𝑆△𝐵𝐷𝐻=3×23153=255。学科网（北京）股份有限公司19.（本小题满分16分）解(1)抽取的200名学生的平均成绩𝑥=55×0.11+65×0.2+75×0.34+85×0.28+95×0.07=75(分)。(2)由题意可知,第五组中共有200×0.07=14(人)。其中,高三年级的学生有14×37=6(人),高一、高二年级的学生有14×47=8(人)。按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人,则在高三年级的学生中抽取3人,高一、高二年级的学生中抽取4人。在这7人中选取2人组成宣讲组,共有C27=21(种)情况。选取的2人都是高三年级学生有C23=3(种)情况。所以选取的2人都是高三年级学生的概率为321=17。(3)s2=(55-75)2×0.11+(65-75)2×0.2+(75-75)2×0.34+(85-75)2×0.28+(95-75)2×0.07=120,所以s=120=230≈2×5.5=11。由𝑥+s≈86可知,比赛成绩x>86认为成绩优秀,又1500×[(90-86)×0.028+10×0.007]=273,所以估计参赛的1500名学生中成绩优秀的人数为273。