学科网（北京）股份有限公司数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设()()ii3i,abab+=−∈R，则A．3a=，1b=B．3a=−，1b=−C．3a=，1b=−D．3a=−，1b=2．已知集合{}1,2,3,4,5A=，{}31,ByyxxA==−∈∣，则AB=∩A．{}1B．{}1,2C．{}2,5D．{}1,2,53．已知向量a，b满足2ab==，223ab−=，则ab⋅=A．2B．3−C．3D．2−4．已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=>>的渐近线与圆22:(3)1Exy+−=相切，则C的离心率为A．2B．3C．43D．35．已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面的夹角为π3，则该圆台的表面积为A．20πB．44πC．68πD．24π6．已知π2sin63α−=，则πsin26α+=A．14−B．14C．59−D．597．某校举行“数学文化节”活动，有5个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有A．36种B．72种C．24种D．240种学科网（北京）股份有限公司8．已知定义在R上的函数()fx，其导函数为()fx′，若()()2sinfxfxx=−−．且当0x>时，()cos0fxx+<′，则不等式()πsincos2fxfxxx+>+−的解集为A．(),π∞−B．()π,∞+C．π,4∞−−D．π,4∞−+二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知圆22:4Oxy+=，则下列说法正确的有A．点()1,2在圆内B．直线12x=−截圆O所得的弦长为152C．圆22:(3)(4)2Cxy−++=与圆O外离D．圆O在点()1,3A处的切线方程为34xy+=10．已知{}na是公差0d>的等差数列，其前n项和为nS，且2432aa⋅=，2412aa+=−，则下列说法正确的有A．212nan=−B．当且仅当5n=时，nS取最小值C．数列{}2na是等比数列D．121060aaa+++=11．已知ABC△的顶点均在抛物线()2Ω:20ypxp=>上，且ABC△的重心为抛物线Ω的焦点F．若212FAFBFCp++=，则A．6p=B．ABC△的周长小于36C．ABC△的三个顶点到y轴的距离之和为9D．Ω上一动点P到直线100xy++=的距离的最小值为72三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．3(1)x−的展开式中2x的系数为_________．13．已知函数()e33xfxxa=−+有零点，则a的取值范围是_________．学科网（北京）股份有限公司14．在平面直角坐标系中，若()11,Mxy，()22,Nxy，则称“1212dxxyy=−+−”为M，N两点的“曼哈顿距离”，若动点E到两定点()10,1F−，()20,1F的“曼哈顿距离”之和为定值6，则称点E的轨迹为“曼哈顿椭圆”，若点P为该“曼哈顿椭圆”上一点，则该“曼哈顿椭圆”的面积为_________．四、解答题（共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）记ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知coscos2cosaCcAbB+=．（1）求角B的大小；（2）若4b=，ABC△的周长为12，求ABC△的面积．16．（本小题满分15分）2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，共5组，得到如图1所示的频率分布直方图．（1）求a的值以及第80百分位数；（2）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用X表示其成绩在[]80,100范围的人数，求X的分布列、期望及方差．17．（本小题满分15分）如图2，四棱锥PABCD−的底面为矩形...