1建系解决空间几何大题题型一空间向量解决线线角1.(25-26高三上·四川成都·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=2，底面ABCD为直角梯形，其中BC⎳AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.(1)求证：PO⊥平面ABCD；(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值.2.(2025·全国一卷·高考真题)如图,在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD,BC⎳AD．(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)设PA=AB=2,BC=2,AD=1+3，且点P，B，C，D均在球O的球面上．(i)证明：点O在平面ABCD内；(ⅱ)求直线AC与PO所成角的余弦值．23.(26-27高三上·江苏南京·开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=BC=2AD=2，AD⎳BC，∠DAB=90°.以AC为直径的球面分别交PB，PC于M，N两点(M，N异于所在棱端点).(1)证明：AM⊥平面PBC；(2)求异面直线MN与CD的夹角；(3)求三棱锥C-MND的体积.4.(2026·广东广州·三模)如图1，已知四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF，△BCE，△DCF分别沿EF，CE，CF折起，使得A，B，D三点重合于点O得到三棱锥如图2．(1)证明：EF⊥OC；(2)若EQ=QF，OH=14OC，求直线OQ与直线EH所成角的余弦值．3题型二空间向量解决线面角5.(2026·全国二卷·高考真题)如图，三棱锥A-BCD中，点E在BD上，AE⊥CE，AE⊥DE，CD⊥AD．(1)证明：CD⊥AB；(2)若DE=2，BE=1，AE=2，CD=23，求直线AD与平面ABC所成角的正弦值．6.(2025·北京·高考真题)如图，在四棱锥P-ABCD中，△ADC与△BAC均为等腰直角三角形，∠ADC=90°，∠BAC=90°，E为BC的中点．(1)若F,G分别为PD,PE的中点，求证：FG⎳平面PAB；(2)若PA⊥平面ABCD，PA=AC，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．47.(2026·江西九江·模拟预测)如图，在直角梯形ABCD中，AD⎳BC,∠BAD=90°,AB=AD=1,BC=2．将△ABD沿BD翻折，得到空间四边形PBCD，且满足PB⊥CD．(1)证明：平面PBD⊥平面BCD；(2)若点E为棱PD上一点，且PE=2ED，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．8.(25-26高三下·江苏无锡·阶段检测)三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，侧面A1ACC1为矩形，∠A1AB=2π3，三棱锥C1-ABC的体积为233．(1)求侧棱AA1的长；(2)若点E位于侧棱CC1上，且C1E=23，求直线AE与平面A1BC所成角的正弦值．59.(2026·陕西咸阳·三模)如图，四棱锥A-BCDE的底面为菱形，∠EDC=60°，AB=BC=23，棱AB,AE,AD,DE的中点分别为F,G,H,I．(1)证明：CH⎳平面FGI；(2)若四棱锥的顶点A满足AB⊥CE，且当四棱锥A-BCDE的体积为6时，求直线FI与平面ABC所成角的余弦值．10.(2026·河南郑州·模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD=2BC=2CD=2PA=2，BC⎳AD，∠BCD=π2，点E,F分别在棱PD,PC上，DE=4EP，EF⎳CD，平面AEF与棱PB交于点G．(1)证明：平面AEFG⊥平面PCD；(2)求直线AG与平面PBC所成角的正弦值．6题型三空间向量解决面面角11.(2026·天津·高考真题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3，AD=4，A1E=3ED1，2C1F=FC．(1)求证：BD⊥面CEF；(2)求面AEF与面CEF的夹角的余弦值；(3)求三棱锥A-CEF的体积．12.(2025·全国二卷·高考真题)如图，在四边形ABCD中，AB⎳CD,∠DAB=90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF⎳AD，AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFDA，使得面EFDA与面EFCB所成的二面角为60°．(1)证明：AB⎳平面CDF；(2)求面BCD与面EFDA所成的二面角的正弦值．713.(26-27高三上·湖南常德·开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⎳平面PAD；(2)若PD=AD=2，求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值．14.(2026·北京·高考真题)已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠BAC=90°，AB=AC=2，BB1=2，E、D分别为A1B1、AC的中点．(1)证明：DE⎳平面BB1C1C；(2)点P在平面A1B1C1内，且EP⎳B1C1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得P唯一确定，求平面PAD与平面PDE的夹角的余弦值．①PA=PD；②PA⊥BC；③BB1⎳平面PDE．注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分．815.如图，平面四边形ABCD中，AB=...