试卷第1页（共4页）2026-2027学年高三上学期开学摸底考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为（）A．1B．iC．D．2．已知集合，，则（）A．B．C．D．3．设；不等式对任意的恒成立，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若函数的值域为，则实数的取值范围（）A．B．C．D．5．已知，则（）A．B．C．1D．6．已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（）试卷第2页（共4页）A．2B．C．D．8．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，与均为以为斜边的直角三角形．若该三棱锥的外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．二、多选题9．已知，则（）A．B．C．D．10．已知正项等比数列的公比为，前项和为，前项的积为，若，，则（）A．B．数列有最小项C．D．当或时，取得最大值11．现有一组数据，，，，，，，则（）A．这组数据的平均数为B．这组数据的分位数为C．从这组数据中任取两个数，这两个数相等的概率为D．用这组数据的个数可组成个不同的七位数三、填空题12．的展开式中的系数为______．13．若函数有且仅有2个零点，则______.14．数列中，，数列的前项和，则数列的前项和______.试卷第3页（共4页）四、解答题15．甲、乙两人参加学校组织的数学知识竞赛，规则如下：每轮比赛从题库中随机抽取两个问题，先由甲回答第一题，然后乙回答第二题.答题者若答对则得1分，答错则对方得1分.当某轮比赛结束后出现一人总分比另一人多2分，则比赛结束，得分多者获胜.已知无论之前答题情况如何，甲每题回答正确的概率为，乙每题回答正确的概率为.(1)记X为第一轮答题后甲的总分，求X的分布列和数学期望；(2)求甲在这次竞赛中获胜的概率.16．如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点.(1)证明：平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.17．已知向量，，函数．(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；试卷第4页（共4页）(2)在锐角中，若且，求周长的取值范围．18．已知圆：，点，是圆上一个动点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点作直线交曲线于，两点，若轴上一点满足．（i）求实数的值；（ⅱ）若，求的面积．19．已知函数，其中，．(1)当时，若在上是增函数，求a的取值范围；(2)若对任意的，均存在两个极值点，求a的取值范围．答案第1页（共12页）参考答案题号1234567891011答案AAABDBCBBDACDABD1．A【详解】由题知，所以z的虚部为1.故选：A.2．A【详解】.，或，.3．A【详解】由，变形得：，因为是增函数，可得：，即，不等式对任意恒成立，整理得：，因为，，两边除以得：对任意恒成立，令，导数，在上是增函数，因此的最小值为，要使恒成立，只需，即，得，因为，故是的充分不必要条件.4．B【分析】分，，，四种情况讨论，结合一次函数与对数函数的单调性以及值答案第2页（共12页）域即可求解.【详解】若，则在上单调递减，在上单调递减，且当时，，当时，，此时要想满足的值域为，则有，解得，结合，可得；若，则当时，，当时，，的值域不为，不合题意；若，则在上单调递增，在上单调递减，且当时，，当时，，的值域不可能为，不合题意；若，则在上单调递增，在上单调递增，且当时，，当时，，此时要想满足的值域为，则有，解得，结合，可得，综上所述，实数的取值范围为.5．D【分析】由诱导公式、同角三角函数商的关系即可求解.【详解】6．B【分析】根据向量数量积运算公式，求得，结合向量的投影向量的定义，即可求解.【详解】由，可得，答案第3页（共12页）所以，所以在方向上的投影向量为．7．C【分析】利用正弦定理把用表示，然后利用余弦定理求得关系，从而求得离心率．【详解】设的半焦距为，过点且与其渐近线垂直的直线与渐近线交于点H，，渐近线的斜率的绝对值为，所以，因为又，所以，故解得，，则．在中，由正弦定理，得，解得，...