试卷第1页，共5页湖南省株洲市2026-2027学年高二上学期开学学情自测卷数学试题1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．命题“”的否定是（）A．B．C．D．3．设，则（）A．B．C．D．4．已知，则（）A．B．C．8D．5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则6．已知为单位向量，且，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．7．位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是（）试卷第2页，共5页A．海里B．海里C．海里D．30海里8．如图，设，，线段与交于点F，且，则（）A．4B．3C．D．5二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9．抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有（）A．A与B是互斥事件但不是对立事件B．A与C是互斥事件也是对立事件C．A与D是互斥事件D．C与D不是对立事件也不是互斥事件10．已知，则下列结论中错误的是（）A．的最大值为2B．在区间上单调递增C．的图象关于点对称D．的最小正周期为11．已知棱长为的正方体中，，满足，，其中，，则下列结论正确的是（）A．当时，试卷第3页，共5页B．当时，平面C．，，有D．，，有三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．已知直线．若，则实数的值为________________．13．设的共轭复数是,若,,则等于__________.14．若在一个边长为5的正三角形中，一个向量所对应的有向线段为（其中D在边上运动），则向量的模的最小值为_________.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．设函数（其中，，）在处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为．（1）求的解析式；（2）求函数的值域．16．如图，在直三棱柱中，分别是的中点．(1)证明：∥平面．(2)设，．①证明：平面．试卷第4页，共5页②求点到平面的距离．17．某学校为了解本校文、理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从理科班学生中随机抽取人的成绩得到样本甲，从文科班学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：甲样本数据直方图乙样本数据直方图已知乙样本中数据在的有个.（1）求和乙样本直方图中的值；（2）试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.18．在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，连接.试卷第5页，共5页（1）证明：；（2）连接，求与底面所成角的正切值；（3）求二面角的平面角的正切值.19．已知且.(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)令，写出的单调区间（只需写出结论）；(3)在（2）的条件下，问：是否存在实数，且，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由.答案第1页，共2页湖南省株洲市2026-2027学年高二上学期开学学情自测卷数学试题（解析版）题号12345678910答案DABDBCBDABDACD题号11答案BCD12．213．14．15．（1）；（2）.16．(1)证明见解析(2)①证明见解析；②17．（1），；（2）81.5,82.18．（1）因为底面，底面，所以.因为底面为正方形，所以，所以平面.因为平面，所以.因为为的中点，，所以.又因为，所以平面.因为平面，所以.（2）；（3）.19．(...