【第1页】【共4页】广东省深圳市深圳中学2027届高三摸底考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．已知z是复数，若()12iz+=，则z=A．1i−B．1i+C．2iD．22i−2．命题“1x，2460xx−+”的否定为A．1x，2460xx−+≥B．1x≤，2460xx−+≥C．1x≤，2460xx−+≥D．1x，2460xx−+≥3．在空间中，下列命题正确的是A．垂直于同一直线的两条直线平行B．平行于同一直线的两个平面平行C．若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直D．若一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行4．双曲线2222100(,)xyabab−=的一条渐近线方程为0xy+=，则该双曲线的离心率为A．2B．3C．2D．225．已知全集U=R，集合()230221logxAxBxxx−==++Z，≤，则UAB=A．12xx−≤≤B．12xx−≤C．012,,D．1012,,,−6．已知函数()()()00sin,fxAxA=+的最小正周期为π，当π12x=时，()fx取得最大值2，则下列结论正确的是A．()()()101fff−B．()()()110fff−C．()()()101fff−D．()()()011fff−7．已知函数()fx满足()()()()()23132fxyfxyfxfyf++−==，，则下列结论不正确的是A．()03f=B．函数()21fx−关于直线12x=对称C．()()00fxf+D．()fx的周期为38．将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前三个数字构成三位数a，后三个数字构成三位数b，则100ab−的概率为【第2页】【共4页】A．13B．12C．23D．56二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的有A．若243,XB，则()11227PX=B．若()2,XN，且()()351PXPX−+=，则2=C．已知事件A，B互斥，()14PA=，()13PB=，则()712PAB=D．已知事件A，B相互独立，()14PA=，()13PB=，则()16PAB=10．已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）底面半径为1，母线长为3．若P，Q为底面圆周上任意不同两点，则下列结论正确的是A．三棱锥OSPQ−体积的最大值为26B．三角形SPQ面积的最大值为32C．当60POQ=时，平面SPQ与平面SOQ夹角的余弦值为2211D．四面体SOPQ外接球表面积恒大于3π11．已知函数()133xfxax+=+有三个极值点1x，2x，3x，若3123xxx，则A．120xxB．1x为极大值点C．322xx−D．()20fx三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知直线()10:lmxyyx+++−=，mR，圆C:()()22129xy−+−=,则直线l被圆C截得的最短弦的长度为________．13．设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，前n项积为nM，若11a=,12nnnnaMMM+=−，则9S=______．14．已知A，B，C是边长为1的正六边形边上相异的三点，则BABC的最小值为______．四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知3ab=，7c=，π3C=．（1）求b的值；（2）求sinB的值；【第3页】【共4页】（3）求()sinAB−的值．16．如图，四棱锥PABCD−的底面是正方形，设平面PAD与平面PBC相交于直线l．（1）证明：//lAD．（2）若平面PAB⊥平面ABCD，5PAPB==,2AB=,求直线PC与平面PAD所成角的正弦值．17．设函数()()21exfxxkx=−−（其中kR）．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）已知112,k，函数()fx在0,k上的最大值为()Mk，试判断当k为何值时，()Mk最小？【第4页】【共4页】18．椭圆2212210:()xyCabab+=的离心率为32，曲线2224:Cyx=+过椭圆1C的左顶点P．（1）求椭圆1C的方程；（2）过坐标原点O的直线l与2C相交于点A，B（异于P），直线PA，PB分别与1C相交于D，E，①证明：PDPE⊥；②记PAB△，PDE△的面积分别是1S，2S，求12SS的最小值及此时直线l的方程．19．已知*kN，集合01222kiiikXxx==+++∣，010kiii≤，其中01,,,kiiiN．（1）求2027X中最小的元素；（2）若1aX，且110aX+，求a的所有可能值；（3）对于*nN，记(122,knknkkY...