小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题30圆中的线段乘积问题1、如图，在ABC中，AB＝BC，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，①求证：ED是⊙O的切线；②求证：DE2＝BF•AE；③若DF＝3，cosA＝，求⊙O的直径．（1）证明： BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，即BD⊥AC， BA＝BC，∴AD＝CD，即D点为AC的中点， 点O为BC的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AB，而DE⊥AB，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）证明： BA＝BC，BD⊥AC，∴BD平分∠ABC，∴DE＝DF， ∠ADE+∠BDE＝90°，∠BDE+∠BDO＝90°，∴∠ADE＝∠BDO，而OB＝OD，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴∠BDO＝∠OBD，∴∠ADE＝∠OBD，Rt∴△AEDRt∽△DFB，∴DE：BF＝AE：DF，∴DE：BF＝AE：DE，∴DE2＝BF•AE；（3）解： ∠A＝∠C，cos∴A＝cosC＝，在Rt△CDF中，cosC＝＝，设CF＝2x，则DC＝3x，∴DF＝＝x，而DF＝3，∴x＝3，解得x＝3，∴DC＝9，在Rt△CBD中，cosC＝＝，∴BC＝×9＝，即⊙O的直径为．2、如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，弦CD＝AC，E为CB延长线上一点，DE切⊙O于点D．（1）求证：CD平分∠ADE；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（2）求证：DE2＝EB•CE；（3）若tan∠CAB＝，且AB＝5，求DE．（1）如图1，连接OC、OD， DE为⊙O切线，∴∠EDC+∠CDO＝90°，又 CA＝CD，OA＝OD，OC＝OC，∴△ACO≌△DCO（SSS），∴∠CDO＝∠CAO， AB为⊙O直径，∴∠CAO+∠CBA＝90°，∴∠CBA＝∠CDE，又 ∠CBA＝∠CDA，∴∠CDE＝∠CDA，即CD平分∠ADE；（2）如图2，连接BD，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ∠DBE+∠CBD＝180°，∠CBD+∠CAD＝180°，∴∠DBE＝∠CAD， CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，又由（1）知∠CDE＝∠CDA，∴∠DBE＝∠CDE，∴△DBE∽△CDE，∴，即DE2＝EB•CE；（3）如图3，延长CO交AD于G， CA＝CD，OA＝OD，∴CG⊥AD，AG＝GD，tan ∠CAB＝，且AB＝5，∴BC＝，AC＝，又 ∠ACG＝∠CAB，∴AG＝2，AD＝4，BD＝3，由（2）知△DBE∽△CDE，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴DE2＝EB•CE，且，设DE＝3x，则CE＝，∴，解得x＝，∴DE＝．3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求证：AD2＝AB•AF；（3）若BE＝8，sinB＝，求AD的长，解：（1）如图1，连接OD，则OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD， AD是∠BAC的平分线，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°， 点D在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；（2）如图2，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com连接OD，DF，EF， AE是⊙O的直径，∴∠AFE＝90°＝∠C，∴EF∥BC，∴∠B＝∠AEF， ∠AEF＝∠ADF，∴∠B＝∠ADF，由（1）知，∠BAD＝∠DAF，∴△ABD∽△ADF，∴，∴AD2＝AB•AF；（3）如图3，连接OD，由（1）知，OD⊥BC，∴∠BDO＝90°，设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝OE＝R， BE＝8，∴OB＝BE+OE＝8+R，在Rt△BDO中，sinB＝，sin∴B＝＝，∴R＝5，∴AE＝2OE＝10，AB＝BE+2OE＝18，连接EF，由（2）知，∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C＝90°，sin∴∠AEF＝sinB＝，在Rt△AFE中，sin∠AEF＝＝＝，∴AF＝小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由（2）知，AD2＝AB•AF＝18×＝，∴AD＝＝．4、如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为BC延长线一点，且BC＝CD，CE⊥AD于点E．（1）求证：直线EC为圆O的切线；（2）设BE与圆O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，①求证：PC2＝PF•PA②若PC＝5，PF＝4，求sin∠PEF的值．证明：（1） CE⊥AD于点E，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴∠DEC＝90°， BC＝CD，∴C是BD的中点，又 O是AB的中点，∴OC是△BDA的中位线，∴OC∥AD，∴∠O...