小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com第2课时夹角问题A必知基级备识础练1.已知点A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为()A.5❑√2266B.-5❑√2266C.5❑√2222D.-5❑√22222.已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.90°3.(2021河南洛阳模拟)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.❑√63B.2❑√55C.❑√55D.❑√1054.两个平面的法向量分别为(0,-1,3)和(2,2,4),则这两个平面的夹角的余弦值为.5.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;(2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值.小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.comB能力提升级关键练6.已知在菱形ABCD中,∠ABC=60°,将△ABC沿AC折起,使得平面BAC⊥平面DAC,则二面角B-CD-A的余弦值为()A.2B.12C.❑√33D.❑√557.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为.8.如图,三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,且∠O1OB=60°,∠AOB=90°,OB=OO1=2,OA=❑√3,求异面直线A1B与O1A所成角的余弦值为.C科素新级学养创练9.如图,在正方形ABCD中,EF∥AB,若沿EF将正方形折成一个二面角后,AE∶ED∶AD=1∶1∶❑√2,则直线AF与CE所成角的余弦值为.小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com第2课时夹角问题1.A⃗AB=(2,-2,-1),⃗CD=(-2,-3,-3),而cos􀎮⃗AB,⃗CD􀎮=⃗AB·⃗CD|⃗AB||⃗CD|=53×❑√22=5❑√2266,故直线AB和CD所成角的余弦值为5❑√2266.2.B如图所示,建立空间直角坐标系.设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),∴⃗AD=(0,1,0).取PD的中点E,则E(0,12,12),∴⃗AE=(0,12,12),易知⃗AD是平面PAB的一个法向量,⃗AE是平面PCD的一个法向量,所以cos<⃗AD,⃗AE>=❑√22,故平面PAB与平面PCD的夹角为45°.3.D如图所示,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),C1(0,2,1),∴⃗BC1=(-2,0,1).连接AC,易证AC⊥平面BB1D1D,∴平面BB1D1D的一个法向量为a=⃗AC=(-2,2,0).小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com∴所求角的正弦值为|cos<a,⃗BC1>|=|a·⃗BC1||a||⃗BC1|=4❑√8×❑√5=❑√105.4.❑√156由(0,-1,3)·(2,2,4)❑√1+9×❑√4+4+16=-2+12❑√10×❑√24=❑√156,知夹角的余弦值为❑√156.5.解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),⃗SC=(2,2,-2), AB⊥平面ASD,故平面ASD的一个法向量为⃗AB=(0,2,0),设SC与平面ASD所成的角为θ,则sinθ=|cos<⃗SC,⃗AB>|=|⃗SC·⃗AB||⃗SC||⃗AB|=❑√33,故cosθ=❑√63,即SC与平面ASD所成角的余弦值为❑√63.(2)平面SAB的一个法向量为m=(1,0,0), ⃗SC=(2,2,-2),⃗SD=(1,0,-2),设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),由{⃗SC·n=0,⃗SD·n=0⇒{x+y-z=0,x-2z=0,令z=1可得平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1),设平面SAB和平面SCD的夹角为α,则cosα=|m·n||m||n|=❑√63,即平面SAB和平面SCD夹角的余弦值为❑√63.6.D设菱形ABCD的边长为1,取AC的中点O,连接BO,DO,因为∠ABC=60°,所以BO⊥AC,又平面BAC⊥平面DAC,平面BAC∩平面DAC=AC,所以BO⊥平面ACD,如图,建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),C12,0,0,B0,0,❑√32,D0,❑√32,0,所以⃗OB=0,0,❑√32,⃗BC=12,0,-❑√32,小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com小、初中、高中各卷知文案合同学种试真题识归纳PPT等免下费载www.doc985.com⃗CD=-12,❑√32,0.设平面BCD的法向量为n=(x,y,z),则{⃗BC·n=0,⃗CD·n=0,即{12x-❑√32z=0,-12x+❑√32y=0,令z=1,得x=❑√...