小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题四三角函数与解三角形考点10三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式与三角恒等变换题组一、选择题1.[2023新高考卷Ⅱ，5分]已知α为锐角，cosα=1+❑√54，则sinα2=¿(D)A.3−❑√58B.−1+❑√58C.3−❑√54D.−1+❑√54[解析]cosα=1+❑√54=1−2sin2α2，得sin2α2=3−❑√58=6−2❑√516=(❑√5−14)2，又α为锐角，所以sinα2>0，所以sinα2=−1+❑√54，故选D.2.[2023新高考卷Ⅰ，5分]已知sin(α−β)=13，cosαsinβ=16，则cos(2α+2β)=¿(B)A.79B.19C.−19D.−79[解析]依题意，得{sinαcosβ−cosαsinβ=13,cosαsinβ=16,所以sinαcosβ=12，所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12+16=23，所以cos(2α+2β)=1−2sin2(α+β)=1−2×(23)2=19，故选B.3.[2022新高考卷Ⅱ，5分]若sin(α+β)+cos(α+β)=2❑√2cos(α+π4)sinβ，则(C)A.tan(α−β)=1B.tan(α+β)=1C.tan(α−β)=−1D.tan(α+β)=−1[解析]sin(α+β)+cos(α+β)=❑√2sin(α+β+π4)=2❑√2sinβ⋅cos(α+π4)，所以sin(α+π4)cosβ+sinβcos(α+π4)=2sinβcos(α+π4)，整理得小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comsin(α+π4)cosβ−sinβcos(α+π4)=0，即sin(α+π4−β)=0，所以α−β+π4=kπ，所以tan(α−β)=tan(kπ−π4)=−1.4.[2021新高考卷Ⅰ，5分]若tanθ=−2,则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=¿(C)A.−65B.−25C.25D.65[解析]解法一（弦化切法）因为tanθ=−2，所以sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ=sinθ⋅(sinθ+cosθ)=sin2θ+sinθcosθsin2θ+cos2θ=tan2θ+tan1+tan2.故选C.解法二（求值代入法）因为tanθ=−2，所以角θ的终边在第二、四象限，所以{sinθ=2❑√5,cosθ=−1❑√5或{sinθ=−2❑√5,cosθ=1❑√5,所以sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=sinθ⋅(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)=sin2θ+sinθcosθ=45−25=25.故选C.5.[2021全国卷甲，5分]若α∈(0,π2),tan2α=cosα2−sinα,则tanα=¿(A)A.❑√1515B.❑√55C.❑√53D.❑√153[解析]因为α∈(0,π2)，所以tan2α=2sinαcosα2cos2α−1=cosα2−sinα⇒2sinα2cos2α−1=12−sinα⇒2cos2α−1=4sinα−2sin2α⇒2sin2.【易错警示】在应用公式化简过程中，约去的式子不能为0，本题式子变形过程中除以cosα是在α∈(0,π2)的前提下进行的.6.[2021浙江，4分]已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三个值中，大于12的个数的最大值是(C)A.0B.1C.2D.3小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com[解析]因为α,β,γ是互不相同的锐角，所以sinα，cosβ,sinβ，cosγ,sinγ，cosα均为正数，所以sinαcosβ≤sin2α+cos2β2，sinβcosγ≤sin2β+cos2γ2，sinγcosα≤sin2γ+cos2α2.三式相加可得sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤32，当且仅当sinα=cosβ,sinβ=cosγ,sinγ=cosα，即α=β=γ=π4时取等号.因为α,β,γ是互不相同的锐角，所以sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα<32，所以这三个值不会都大于12.若取α=π6,β=π3,γ=π4，则sinπ6cosπ3=12×12=14<12，sinπ3cosπ4=❑√32×❑√22=❑√64>24=12，sinπ4cosπ6=❑√22×❑√32=❑√64>12，所以这三个值中大于12的个数的最大值为2.故选C.7.[2020全国卷Ⅱ，5分]若α为第四象限角，则(D)A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0[解析]解法一 α为第四象限角，∴sinα<0,cosα>0,∴sin2α=2sinαcosα<0.故选D.解法二由α为第四象限角，可得3π2+2kπ<α<2π+2kπ,k∈Z，所以3π+4kπ<2α<4π+4kπ,k∈Z，此时2α的终边落在第三、四象限及y轴的非正半轴上，所以sin2α<0，故选D.8.[2020全国卷Ⅲ，5分]已知2tanθ−tan(θ+π4)=7,则tanθ=¿(D)A.−2B.−1C.1D.2[解...