小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com§7.7向量法求空间角考试要求能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用．知识梳理1．异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝.2．直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝＝.3．平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直的方向向量所成的角就是直所成的角．两线两条线()(2)直的方向向量和平面的法向量所成的角就是直平面所成的角．线线与()(3)面直所成角的范是，直平面所成角的范是两异线围线与围.()(4)直的方向向量线为u，平面的法向量为n，面角则线θ足满sinθ＝cos〈u，n〉．()教材改编题小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°2．已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则直线l1和l2所成角的余弦值为()A.B.C.D.3．平面α的一个法向量为m＝(1,2，－2)，平面β的一个法向量为n＝(2,2,1)，则平面α与平面β夹角的正切值为()A.B.C.D.题型一异面直线所成的角例1(1)若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°(2)(2022·杭州模拟)如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为()A.B.C.D.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华用向量法求面直所成的角的一般步异线骤(1)建立空直角坐系．间标(2)用坐表示面直的方向向量．标两异线(3)利用向量的角公式求出向量角的余弦．夹夹值(4)注意面直所成角的范是，即面直所成角的余弦等于向量角的余弦两异线围两异线值两夹的．值绝对值跟踪训练1(1)有公共边的△ABC和△BCD均为等边三角形，且所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为________．(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，AF＝小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comλAD(0<λ<1)，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值为______．题型二直线与平面所成的角例2(12分)(2022·全甲卷国)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝.(1)证明：BD⊥PA；[切入点：由等腰梯形ABCD的性质求BD长](2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．[关键点：建立空间直角坐标系求法向量]小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com思维升华利用空向量求面角的解步间线题骤跟踪训练2如图，在六面体PACBD中，△PAB是等边三角形，平面PAB与平面ABD所成角为30°，PC＝AB＝AD＝BD＝AC＝BC＝4.(1)证明：AB⊥PD；(2)若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面PAB所成角的正切值的最大值．_________________________________________________________________________________________________________________________________________...