甘肃省天水市第一中学2026-2027学年高二上学期开学检测考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设𝑖为虚数单位，则1−i1+i4=（）A．−1B．1C．𝑖D．−𝑖2．已知cos𝛼+cos𝛽=3,sin𝛼+sin𝛽=22，则cos(2𝛼−2𝛽)=（）A．18B．−78C．−14D．1543．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形𝑂′𝐴′𝐵′𝐶′，且𝑂′𝐴′//𝐵′𝐶′，𝑂′𝐴′=2𝐵′𝐶′=4，𝐴′𝐵′=2，则该平面图形的高为（）A．22B．2C．42D．24．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有1个白色球，3个黑色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球都是黑色球的概率是（）A．14B．13C．12D．235．已知𝑎,𝑏不共线，且𝐴𝐵=𝑎+5𝑏，𝐵𝐶=−2𝑎+8𝑏，𝐶𝐷=3𝑎−3𝑏，则（）三点共线A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D6．已知△𝐴𝐵𝐶的外接圆圆心为O，半径长为2，且2𝐴𝑂=𝐴𝐶+𝐴𝐵，|𝐴𝑂|=|𝐴𝐵|，则𝐵𝐴⋅𝐵𝐶的值为（）A．2B．23C．4D．437．四棱台𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐸𝐹𝐺𝐻中，其上、下底面均为正方形，若𝐸𝐹=2𝐴𝐵=8，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为32，则该棱台的体积为（）A．224B．448C．2243D．1478．球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4，则球的体积与圆台的体积之比为（）A．6:13B．5:14C．3:4D．7:15二、多选题9．已知平面向量𝑎=(2,1)，𝑏=(𝑡,𝑡−3)，则（）A．若𝑡=6，则𝑎//𝑏B．若𝑡>1，则𝑎与𝑏的夹角为锐角C．若𝑐为任意非零向量，则存在实数𝑡，使得𝑎⋅𝑐=𝑏⋅𝑐D．若𝑎在𝑏上的投影向量为35𝑏，则𝑡=2或𝑡=7210．如图，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐸,𝐹,𝐺分别为𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐶𝐶1的中点，点𝑃在线段𝐴1𝐷上，则下列结论正确的是（）A．直线𝐴1𝐶1//平面EFGB．直线𝐶𝑃和平面𝐴𝐵𝐶𝐷所成的角为定值C．异面直线𝐶𝑃和𝐹𝐺所成的角不为定值D．若直线𝐶𝑃//平面EFG，则点𝑃为线段𝐴1𝐷的中点三、填空题11．已知向量|𝑎+𝑏|=|𝑎−𝑏|=2|𝑎|，则向量𝑎−𝑏与向量𝑏的夹角为______.12．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径𝐴，𝐵两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点𝐶，𝐷，测得𝐶𝐷=45m，∠𝐴𝐷𝐵=135°，∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐷𝐶𝐴=15°，∠𝐴𝐶𝐵=120°，则𝐴𝐵两点的距离为______m．四、解答题13．某工厂对工人的专业技能做了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中𝑏=3𝑎．(1)求出a，b的值；(2)估计此次测试的平均成绩；(3)按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在[80,100]内的工人中抽取4人，再从这4人中任选2人，请列举出样本空间并求出这2人成绩都在[80,90)内的概率．14．在锐角△𝐴𝐵𝐶中，已知角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐，且𝑎=𝑐−2𝑎cos𝐵.(1)求证：𝐵=2𝐴；(2)求1tan𝐴−1tan𝐵+65sin𝐵的最小值；(3)若𝑐=2，求△𝐴𝐵𝐶周长的取值范围.15．设函数𝑓(𝑥)=sin𝜔𝑥+π3+2cos𝜔𝑥−π6(0<𝜔<4)(1)化简𝑓(𝑥)；(2)将函数𝑓(𝑥)的图象向右平移π6个单位长度后得到𝑔(𝑥),𝑔(𝑥)的图象关于原点对称，求𝑓(𝑥)的单调递增区间；(3)在（2）的条件下，△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且𝑓(𝐴)=332.若𝑏=4,𝐴𝐶⋅𝐶𝐵>0，求𝑐的取值范围．16．四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，△𝑃𝐶𝐷为正三角形，∠𝐴𝐷𝑃=90°，E为𝑃𝐷的中点．(1)证明：𝑃𝐵//平面𝐴𝐶𝐸．(2)证明：平面𝐴𝐶𝐸⊥平面𝑃𝐴𝐷．(3)求平面𝐴𝐶𝐸与平面𝑃𝐵𝐶夹角的余弦值．《甘肃省天水市第一中学2026-2027学年高二上学期开学检测考试数学试题》参考答案题号12345678910答案BACCACBAADAD1．B2．A3．C4．C5．A6．C7．B8．A9．AD10．AD11．5π612．45513．(1)𝑎=0.01；𝑏=0.03(2)76.5(3)1214．(1)已知𝑎=𝑐−2𝑎cos𝐵，由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2𝑅，可得sin𝐴=sin𝐶−2sin𝐴cos𝐵⇒sin𝐴=sin(𝐴+𝐵)−2sin𝐴cos𝐵⇒sin𝐴=sin𝐴cos𝐵+sin𝐵cos𝐴−2sin𝐴cos𝐵，...