山西忻州市某校2026-2027学年高二上学期期始考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合𝐴={𝑥∈𝑁∣𝑥2−2𝑥−3⩽0},𝐵={𝑥∣log2𝑥⩽1}，则𝐴∩𝐵=（）A．{1,2}B．{0,1,2}C．[−1,2]D．(0,2]2．已知直线𝑙过点(3,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线𝑙的方程为（）A．𝑥+𝑦−8=0B．𝑦=53𝑥C．𝑦=53𝑥或𝑥+𝑦−8=0D．𝑦=53𝑥或𝑥+𝑦+8=03．已知五个数𝑥1，𝑥2，𝑥3，𝑥4，𝑥5的极差为4，方差为2，则3𝑥1+5，3𝑥2+5，3𝑥3+5，3𝑥4+5，3𝑥5+5的（）A．极差为12，方差为18B．极差为9，方差为6C．极差为12，方差为6D．极差为9，方差为184．直线𝑥+𝑎2𝑦+6=0和(𝑎−2)𝑥+3𝑎𝑦+2𝑎=0无公共点，则a的值为（）A．－1或2B．0或3C．－1或0D．－1或35．已知空间内三点𝑂(0,0,0)，𝐴(−1,2,0)，𝐵(0,2,3)，则点𝐵到直线𝑂𝐴的距离为（）A．455B．5C．655D．7556．若直线𝑎𝑥+𝑏𝑦−1=0(𝑎>0,𝑏>0)平分圆𝑥2+𝑦2−2𝑥−2𝑦−2=0，则1𝑎+2𝑏的最小值是（）A．2B．5C．3+22D．427．某种药物作用在农作物上的分解率为𝑣，与时间𝑡（小时）满足函数关系式𝑣=𝑎𝑏𝑡（其中𝑎,𝑏为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为10%，经过24小时该药物的分解率为20%，那么这种药物完全分解，至少需要经过（）（参考数据：lg2≈0.3）A．48小时B．52小时C．64小时D．120小时8．棱长为2的正方体内有一个棱长为a的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则a的最大值为（）A．1B．263C．3D．2二、多选题9．下列说法正确的是（）A．直线3𝑥+3𝑦−3=0的倾斜角为150°B．若直线𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0经过第三象限，则𝑎𝑏>0，𝑏𝑐<0C．存在𝑎使得直线3𝑥+𝑎𝑦=2与直线𝑎𝑥+2𝑦=0垂直D．已知直线𝑙过定点𝑃(1,0)且与以𝐴(2,−3),𝐵(−3,−2)为端点的线段有交点，则直线𝑙的斜率𝑘的取值范围是(−∞,−3]∪12,+∞10．在复平面内，复数𝑧1，𝑧2对应的点分别为𝑍1，𝑍2，𝑂为坐标原点，则下列结论正确的是（）A．若𝑧21+𝑧22=0，则𝑧1=𝑧2=0B．若𝑧1𝑧2=|𝑧1|2，且𝑧1𝑧2≠0，则𝑍1，𝑍2关于𝑥轴对称C．若𝑂𝑍1⊥𝑂𝑍2，则|𝑧1+𝑧2|=|𝑧1−𝑧2|D．若𝑧1=1+i，且𝑧1，𝑧2是关于𝑥的方程𝑥2+𝑝𝑥+𝑞=0的两个根（𝑝，𝑞∈𝑅），则𝑧1𝑧22026=i11．棱长为1的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，点𝑃在线段𝐵1𝐶上运动（包括端点），则下列结论正确的是（）A．𝐴𝐷1⊥𝐷𝑃一定成立B．当直线𝐴𝑃与直线𝐵𝐷1相交时，点𝑃是线段𝐵1𝐶的一个三等分点C．三棱锥𝐴1−𝐵𝑃𝐷的体积不变D．𝐴𝑃+𝐵𝑃的最小值为6+22三、填空题12．圆𝑂:𝑥2+𝑦2=1上的点到直线𝑙:3𝑥−4𝑦+15=0的距离的最小值为_______.13．已知cos(𝜋4＋α)＝35，17𝜋12<𝛼<7𝜋4，则sin2𝛼+2sin2𝛼1−tan𝛼的值为________.14．已知函数𝑓(𝑥)=sin𝜔𝑥,𝜔∈(0,+∞)，若存在𝑥1,𝑥2∈π4,π2，使得|𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)|≥2，则𝜔的最小值为________．四、解答题15．已知圆C的圆心在直线x+y﹣2＝0上，且经过点A（4，0），B（2，2）．(1)求圆C的方程；(2)若直线l过点P（3，4）与圆交于M，N两点，且弦长|𝑀𝑁|=23，求直线l的方程．16．如图，已知正三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐵=𝐴𝐴1=2，点P为𝐵𝐶的中点.(1)证明：𝐴1𝐵//平面𝐴𝑃𝐶1；(2)求点B到平面𝐴𝑃𝐶1的距离.17．学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数𝑥𝑖(𝑖=1,2,⋯,50)全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：[45,55)，[55,65)，…，[85,95]，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）．(1)求𝑚的值．(2)估计此次数学测试分数的平均数𝑥与中位数．（保留一位小数）(3)若采用分层随机抽样的方法，从分数在[65,85)内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在[75,85)内的概率．18．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐．已知𝑏=3，𝑐=6，sin2𝐶=sin𝐵，且𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的中线，𝐴𝐸为∠𝐵𝐴𝐶的角平分线．(1)求cos𝐶及线段𝐵𝐶的长；(2)求△𝐴𝐷𝐸...