专题01相交线与平行线中的四种几何模型全攻略类型一、猪脚模型例．问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)猜想：若，，试猜想______°；(2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论；(3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数．【答案】(1)(2)；证明见详解(3)【详解】(1)解：如图过点作， ，∴．∴，． ，，∴∴． ，∴∠P=80°．故答案为：；(2)解：，理由如下：如图过点作， ，∴．∴，．∴ ，．(3)如图分别过点、点作、 ，∴．∴，，．∴ ，，，∴∴故答案为：．【变式训练1】已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点(不与点E，F重合)，设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．(1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系(不要求证明)．【答案】(1)证明见详解(2)①；证明见详解；②；证明见详解【详解】(1)解：如图4所示：过点作， ∴∴，， ，∴；(2)解：①如图5过点作， ∴∴，， ，∴；②如图6过点作， ∴∴，， ，∴．【变式训练2】阅读下面内容，并解答问题．已知：如图1，，直线分别交，于点，．的平分线与的平分线交于点．(1)求证：；(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择题．①在图1的基础上，分别作的平分线与的平分线交于点，得到图2，则的度数为．②如图3，，直线分别交，于点，．点在直线，之间，且在直线右侧，的平分线与的平分线交于点，则与满足的数量关系为．【答案】(1)见解析(2)①；②结论：【详解】(1)证明：如图，过作，，，，，平分，平分，，，，在中，，，；(2)解：①如图2中，由题意，，平分，平分，，，故答案为：；②结论：．理由：如图3中，由题意，，，平分，平分，，，，故答案为：．【变式训练3】如图：(1)如图1，，，，直接写出的度数．(2)如图2，，点为直线，间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由．(3)如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数．【答案】(1)∠BED=66°；(2)∠BED=2∠F，见解析；(3)∠BED的度数为130°．【详解】(1)解：(1)如图，作EF∥AB，， 直线AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠ABE=1=45°∠，∠CDE=2=21°∠，∴∠BED=1+2=66°∠∠；(2)解：∠BED=2∠F，理由是：过点E作EG∥AB，延长DE交BF于点H， AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠5=∠1+∠2，∠6=∠3+∠4，又 BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠2=∠1，∠3=∠4，则∠5=2∠2，∠6=2∠3，∴∠BED=2(∠2+∠3)，又∠F+∠3=∠BHD，∠BHD+∠2=∠BED，∴∠3+∠2+∠F=∠BED，综上∠BED=∠F+12∠BED，即∠BED=2∠F；(3)解：延长DF交AB于点H，延长GE到I， ∠BGD=60°，∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°，∠BFD=∠2+3=∠∠2+∠1+60°=95°，∴∠2+∠1=35°，即2(∠2+∠1)=70°， BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABE=2∠2，∠CDE=21∠，∴∠BEI=∠ABE+∠BGE=2∠2+∠BGE，∠DEI=∠CDE+∠DGE=21∠+∠DGE，∴∠BED=∠BEI+∠DEI=2(∠2+∠1)+(∠BGE+∠DGE)=70°+60°=130°，∴∠BED的度数为130°．类型二、铅笔模型例．问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度数．(1)丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC＝85°，请补全她的推理依据．如图2，过点P作PE∥AB，因为AB∥CD，所以PE∥CD．()所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．()因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．问题迁移：(2)如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有什么数量关系？请说明理由．(3)在(2)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．【答案】(1)平行于同一条直线的两条直线平行(或平行公理推论)，两直线平行，同旁内角互补；(2)，理由见解析；(3)或【详解】解：(1)如图2，过点P作PE∥AB，因为AB∥CD，所...