第1页（共15页）2026年09月03日沈阳二十中学数学一模一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知集合M＝{x|1＜2x＜8}，N＝{﹣2，1，2，3}，则M∩N＝（）A．{﹣2，1，2，3}B．{1，2，3}C．{﹣2，1}D．{1，2}2．（5分）样本数据8，6，8，7，9，9，10，11的中位数是（）A．8B．8.5C．9D．9.53．（5分）已知a，b为实数，则“a＜b＜0”是“ab＜a2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知二项式（2x﹣1）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n的值为（）A．4B．5C．6D．75．（5分）已知α，β，γ是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若a⊥α，b⊥α，则a∥bC．若a∥α，b⊂α，则a∥bD．若a∥α，a∥β，则α∥β6．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则ωφ＝（）A．B．C．D．7．（5分）已知复数z满足|z﹣i|+|z+i|＝4，则|z|的最小值为（）A．1B．C．D．28．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（x）+sinπx为偶函数，为奇函数，则＝（）第2页（共15页）A．B．1C．D．log32二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）（多选）9．（6分）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，d为公差，且S8＜0，S9＞0，则下列说法正确的是（）A．d＞0B．当n＝8时，Sn取最小值C．a8＜0D．a9＞0（多选）10．（6分）加斯帕尔・蒙日是18﹣19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为x2+y2＝a2+b2．已知长方形G的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（）A．椭圆M的离心率为B．若G为正方形，则G的边长为C．椭圆M的蒙日圆方程为x2+y2＝7D．长方形G的面积的最大值为14（多选）11．（6分）如图所示，在圆锥PO中，PO为高，AB为底面圆的直径，圆锥的轴截面是面积等于4的等腰直角三角形，C为母线PA的中点，点M为底面上的动点，且OM⊥AM，点O在直线PM上的射影为H，当点M运动时，则有（）第3页（共15页）A．三棱锥O﹣APM体积的最大值为B．直线PA与直线CH不可能垂直C．点H的轨迹长度为D．|AH|+|HO|的最大值为三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．（5分）若都是单位向量，，则向量与的夹角大小为．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若边上的高，则△ABC的周长为．14．（5分）设集合M＝{x|1≤x≤100，x∈N}，若对于满足A⊆M的任意k个元素的集合A＝{a1，a2，…，ak}，都存在ai，aj∈A（i≠j）使得，则k的最小值是．四．解答题（共5小题，满分77分）15．（13分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，E为棱CC1上的动点（不包含端点C，C1）．（1）证明：BD⊥AE；（2）当C1E＝1时，求二面角A﹣BD﹣E的余弦值．第4页（共15页）16．（15分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与抛物线交于A，B两点，l2与抛物线交于C，D两点．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（1）若p＝2，直线l1的斜率为1，求|AB|的值；（2）求四边形ACBD面积的最小值及此时直线l1的斜率．17．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量＝（sinA，sinB），＝（cosB，cosA），且•＝sin2C．（1）求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，，求a+b的取值范围；（3）设△ABC的面积为，AB边上的中线CD长为2，求c的长．18．（17分）已知函数f（x）＝ex﹣bx﹣e2（b∈R），g（x）＝ex﹣alnx（a＞0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当b＝1时，若f（x）≤g（x）恒成立，求a取值范围；（3）若a＞2e2，求证：函数g（x）有两个大于1的零点．19．（17分）为提升用户的“数字资产积累”体验，某区块链平台推出“幸运盲盒”游戏：盲盒内有编号1～6的6个数字代币（质地均匀），每次随机有放回抽取1个代币，抽取相互独立．规则为：抽到6号代币得2个积分，抽到1～5号代币得1个积分．定义“安全积累状态”为：抽取过程中从未出现连续两次抽到6号代币...