学科网（北京）股份有限公司南京外国语学校2026－2027学年度高三年级第一学期期初数学试题注意事项：本试卷包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上1．若复数z满足63i2iz=+，则z的虚部是（）A．2i−B．3iC．1D．32．若等比数列{}na的公比为q，则“103q<<”是“{}na是递减数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知双曲线C：221436xy−=，则C的右焦点到其渐近线的距离为（）A．2B．6C．210D．424．已知一组数据为1−，1，3，4，5，7，10，11，若n为这组数据的70%分位数，则()21nxy−+的展开式中23xy的系数为（）A．40−B．60−C．84−D．840−5．四棱锥PABCD−底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M在底面正方形ABCD内运动，且满足MPMC=，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）学科网（北京）股份有限公司A．B．C．D．6．已知向量a，b满足22ab==，1ab⋅=−，设cxayb=+，且21xy+=，则c的最小值为（）A．2B．1C．52D．127．已知函数()33,1ln2,1xxaxfxxx−++≤=−+>，若关于x的方程()()fxbb=∈R恒有解，则a的取值范围为（）A．(),4−∞B．(],4−∞C．(),0−∞D．(],0−∞8．已知正实数a，b，c满足212aaaa+=−，313bbbb+=−，414cccc+=−，则a，b，c的大小关系为（）A．cba<<B．abc<<C．acb<<D．bac<<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．函数()()π23sin0,2fxxωϕωϕ=+>≤的部分图像如图所示，A为图像的最高点，B，C为图像与x轴的交点，π3BAC∠=，2OCOB=，则下列说法正确的是（）A．π4ω=B．函数()fx在2032,33上单调递增C．函数()fx在()0,2上的值域为()3,23D．若()635fα=，则ππ7sin2625α+=−学科网（北京）股份有限公司10．已知函数()cosxfxx=，π0,2x∈，则下列结论正确的有（）A．()fx在区间π0,2上单调递减B．3cos12π<C．()fx在区间0,2π上的值域为[)0,+∞D．若函数()()singxxgxx′=−，且π12g=−，则()gx在π0,2上单调递减11．已知1x，2x为方程2410xx−+=的两个实根，设()1212nnnaxx=+，下列结论正确的是（）A．326a=B．存在*k∈N，使得2212kkkaaa++−=C．2026a的个位数字为7D．202612a+为完全平方数三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．12．设函数()10,1lg,1xxfxxx−<=≥，则()()2ff−=__________．13．在ABC△中，4Aπ=，()22cos3BC−=，3BC=，则ABC△的面积为__________．14．已知函数()2exfxax=−，若对任意1x，21,22x∈，12xx≠，不等式()()121212fxfxxxxx−<+−恒成立，则实数a的取值范围是__________．四、解答题：（本大题共5小题，共77分）15．（13分）已知函数()()ln1fxxax=−−，a∈R．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx在区间()1,e内存在零点，求a的取值范围．16．（15分）已知a，b，c分别为ABC△的内角A，B，C所对的边，23a=且3sincosaCaCbc+=+．（1）求A；（2）已知D是边BC的中点，求AD的最大值．学科网（北京）股份有限公司17．（15分）乒乓球作为我国的“国球”，一直以来都深受广大人民群众的喜爱．某学校高三年级将要举办乒乓球比赛，为更好备战，甲、乙、丙三位选手练习打乒乓球，每局均分胜负，第一局甲、乙对打，丙轮空，此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，每局双方获胜的概率相同，每局的结果相互独立．（1）求前五局中甲恰好参与了四局的概率；（2）求第n局为乙、丙对打的概率；18．（17分）如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，22PAABBCAD====，ADBC∥，90DAB∠=°．以A...