高三数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={−1,−2,1,5}，B={x∣y=lg(x+2)}，则A∩B=（）A.{−1,−2,1,5}B.{−1,1,5}C.{1,5}D.∅【答案】B【详解】由题意得，集合B={x∣x>−2}.因为−2∉B，−1∈B，1∈B，5∈B，所以A∩B={−1,1,5}.故选B.2.若复数z=(12−i)(a+i)（a∈𝐑）为纯虚数，则a=（）A.−5B.−4C.−3D.−2【答案】D【详解】展开复数z得z=12a+12i−ai−i2=(12a+1)+(12−a)i.因为z为纯虚数，所以⎧{⎨{⎩12a+1=0,12−a≠0.解得a=−2.故选D.3.在长方形ABCD中，AM=12AB，AC与DM交于点N，则MN=（）A.13AD−16ABB.23AD−13ABC.12AD−12ABD.13AD−14AB【答案】A【详解】在长方形ABCD中，AB∥CD且CD=AB.因为AM=12AB，所以AM∥CD且AM=12CD.因此△AMN∼△CDN，相似比为MNDN=AMCD=12.所以MN=13MD.又因为MD=AD−AM=AD−12AB，所以MN=13(AD−12AB)=13AD−16AB.故选A.4.已知圆锥的侧面积为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是（）A.π2B.√22πC.√33πD.π【答案】C【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h.因为圆锥的侧面展开图为半圆，其圆心角为π，所以展开图弧长等于底面周长，即πl=2πr⟹l=2r.又圆锥的侧面积为S侧=πrl=2πr2=2π.解得r=1，l=2.圆锥的高为h=√l2−r2=√22−12=√3.故圆锥的体积为V=13πr2h=13π×12×√3=√33π.故选C.5.甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排照相，则甲与乙相邻的概率为（）A.12B.35C.34D.25【答案】D【详解】五名同学全排列的基本事件总数为n=A55=120.利用捆绑法，将甲、乙视作一个整体，内部排列有A22种方式，该整体与其余三人共4个元素全排列有A44种方式，故甲与乙相邻的事件数为m=A22A44=2×24=48.所求概率为P=48120=25.故选D.6.已知椭圆C∶x2a2+y2b2=1（a>b>0）与抛物线E∶y2=2px（p>0）有相同的焦点F，椭圆C与抛物线E在第一象限交于点P，PF⟂x轴，则椭圆C的离心率等于（）A.√22B.√2−1C.1−√22D.√2−12【答案】B【详解】由题意，抛物线E的焦点为F(c,0)，则p2=c⟹p=2c.抛物线方程为y2=4cx.因为PF⟂x轴且点P在第一象限，所以点P的横坐标为c.将x=c代入抛物线方程得y2=4c2，故yP=2c.又点P(c,2c)在椭圆C上，且椭圆过焦点的通径半长为b2a，因此b2a=2c.由b2=a2−c2代入得a2−c2=2ac.两边同除以a2并设离心率e=ca∈(0,1)，得1−e2=2e⟹e2+2e−1=0.解得e=√2−1（负根−1−√2已舍去）.故选B.7.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，则“sin2A+cos2B+sin2C>1”是“△ABC是锐角三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【详解】因为cos2B=1−sin2B，所以sin2A+cos2B+sin2C>1⟺sin2A+sin2C>sin2B.由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R，不等式等价于a2+c2>b2.由余弦定理b2=a2+c2−2accosB可得a2+c2−b2=2accosB>0⟺cosB>0⟺0<B<π2.即条件等价于“角B为锐角”.若△ABC是锐角三角形，则角A、B、C均为锐角，必有角B为锐角，必要性成立；若角B为锐角，角A或角C可以为钝角（例如A=120∘，B=30∘，C=30∘），此时△ABC不是锐角三角形，充分性不成立.故“sin2A+cos2B+sin2C>1”是“△ABC是锐角三角形”的必要不充分条件.故选B.8.设函数f(x)的定义域为𝐑，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)=ax+b（a>0且a≠1），若f(0)+f(3)=−1，则f(log218)=（）A.−98B.32C.−78D.52【答案】C【详解】因为f(x+1)为奇函数，所以f(−x+1)=−f(x+1)，即函数f(x)关于点(1,0)中心对称，从而f(1)=0.因为f(x+2)为偶函数，所以f(−x+2)=f(x+2)，即函数f(x)关于直线x=2轴对称.由此可得f(x+4)=f(2+(x+2))=f(2−(x+2))=f(−x)=−f(x+2)=−f(2−x)=f(x).即f(x)是周期为4的周期函数.同时由对称性可知f(3)=f(2+1)=f(2−1)=f(1)=0.由已知f(0)+f(3)=−1，得f(0)=−1.当x∈[0,1]时，f(x)=ax+b，代入x=0与x=1：⎧{⎨{⎩f(0)=1+b=−1,f(1)=a+b=0.解得b=−2，a=2，满足a>0且a≠1.故当x∈[0,1]时，f(x)=2x−2.因为4<log218<5，由周期性得f(log218)=f(log218−4)=f(log21816)=f(log298).由于0<log298<1，直接代入...