试卷第1页，共6页湖南省长沙市2026-2027学年高一上学期开学学情自测卷数学试题1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（）A．1B．−1C．iD．−i2．高一（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，175，172，172，176，180，则这7人的第40百分位数为（）A．168B．170C．172D．1713．某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：），，，，，利用所得数据绘制如下统计图表：根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（）A．身高在区间的男生比女生多人B．B组中男生和女生占比相同C．超过一半的男生身高在以上试卷第2页，共6页D．女生身高在组的人数有人4．如图，在中，，，，P为边上一动点，，连接，则的最小值为（）A．B．C．D．25．如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处，若的面积为，那么折叠的的面积为（）A．30B．20C．D．6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且圆O被水面截得的弦AB长为6米，半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到AB的距离等于（）A．1米B．米C．2米D．米7．已知集合，，且的元素个数为2，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．8．设集合，则的真子集的个数是（）试卷第3页，共6页A．8B．7C．4D．3二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9．关于的方程的两个实数根分别为，则（）A．B．C．D．10．（多选）若只有一个根，则实数a的取值可以为（）A．1B．C．0D．411．如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（不重合）．给出下面四个选项，则正确的有（）A．与的面积一定相等B．与的面积可能相等C．一定是锐角三角形D．可能是等边三角形三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．分解因式：______.13．设命题：已知，，且，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若命题、中有一个为真命题，一个为假命题，则实数的取值范围是__________.试卷第4页，共6页14．黄金分割比，这一神奇的数学比例，在中外数学发展历程中都被敏锐捕捉.古希腊毕达哥拉斯学派率先察觉，欧几里得给出严谨定义，中国清代梅文鼎从独特的勾股形视角与之关联.如图，在中，，，，点D在线段AB上，过点D作于点E，于点F，得到矩形DECF，若矩形DECF的周长与的周长之比恰好为黄金分割比，则AD的长为__________.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．计算：(1)；(2)已知，，求的值；(3)已知，，求：．16．某校为了了解学生对课外活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，将学生参与的课外活动分为A，B，C，D四类（每个学生必须参与，且只参与其中一类），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据以上信息，解答下列问题(1)本次调查抽取的学生人数为______；(2)补全条形统计图；(3)求扇形统计图中B类课外活动所对应的圆心角度数；(4)若该校有学生1500人，估计该校参与D类课外活动的学生人数.试卷第5页，共6页17．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，①解得：．当时，，∴，∴，当时，，∴，∴，∴原方程的解为解答问题：(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了的目的，体现了的数学思想；(2)利用上述材料中的方法解方程：．18．如图，某景区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在点登船，沿水路游...