小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第09讲数学广角—容斥原理【基础知识】知识点一：容斥原理1.解决重叠问题，可以从条件入手进行分析，画出示意图，借助示意图进行思考。为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分，也可以先用其中一部分减去重叠部分，再加上另一部分。2.在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．一般方法：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．容斥原理1：两量重叠问题A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数用符号可表示成：A∪B=A+B-A∩B（其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．容斥原理2：三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C【考点剖析】考点：容斥原理例1．（2021秋川汇区期末）三年级兴趣小组报名啦！•三（1）班合唱：小立、小田、小冬、小华绘画：小方、小于、小文三（2）班合唱：小王、小丁、小平、小米绘画：小同，小平、小林（1）填一填。（2）算一算：三（3）班参加合唱小组的有5人，参加绘画小组的有6人，两个小组都参加的有3人，只参加一个兴趣小组的有几人？【思路引导】（1）参加合唱小组的，有三（1）、三（2）两个班的，参加绘画小组小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com的三（1）、三（2）班两个班的。两个兴趣小组都参加的只有小平。（2）要求只参加一个兴趣小组的人数，两个兴趣小组的总人数减去重复参加的。【完整解答】（1）（2）5+6﹣3＝11﹣3＝8（人）答：只参加一个兴趣小组的有8人。【考察注意点】明确几个量中的重复数量是解决本题的关键。例2．（2020秋东城区期末）根据下面统计表，把同学们的名字填在如图所示•中合适的位置，再填空。三（1）班参加兴趣小组情况统计表音乐组周丹李红朱一杨兰马杰美术组陈东朱一宋军王丽杨兰既参加音乐组又参加美术组的有2人。【思路引导】根据统计表中参加各兴趣小组的名单，完成图示，并结合图示回答问题即可。【完整解答】解：如图：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com答：既参加音乐组又参加美术组的有2人。故答案为：2。【考察注意点】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。【真题演练】一．选择题1．（2021秋中江县期末）杨老师给三（•2）班的同学出了两道思考题。批改后发现，全班每人至少做对一题，第1题做对的有30人，第2题做对的有25人，两道题都做对的有13人。三（2）班一共有（）名学生？A．68B．42C．55【思路引导】根据容斥原理公式：总人数＝（A+B）﹣既A又B解答即可。【完整解答】解：30+25﹣13＝55﹣13＝42（名）答：三（2）班一共有42名学生。故选：B。【考察注意点】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。2．（2021秋黄岩区期末）写成语比赛，小刚写出了•15个，小佳写出了8个，小佳写出来的8个成语小刚都写出来了。小刚和...