小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第9讲数学广角-集合知识点一：容斥原理1.解决重叠问题，可以从条件入手进行分析，画出示意图，借助示意图进行思考。为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分，也可以先用其中一部分减去重叠部分，再加上另一部分。2.在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．一般方法：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．容斥原理1：两量重叠问题A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数用符号可表示成：A∪B=A+B-A∩B(其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思)．解决重叠问题，可以从条件入手进行分析，画出示意图，借助示意图进行思考。为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。方法1：只参加A＋只参加B＋A、B都参加=总人数方法2：参加A＋参加B－A、B都参加=总人数小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com容斥原理2：三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C考点一：容斥原理【例1】(2019春•北京月考)在一次运动会中，甲班参加田赛的有15人，参加径赛的有12人，参加田赛又参加径赛的有7人，没有参加比赛的有21人．那么甲班共有41人．【思路分析】这道题我们可根据题里的条件画一个示意图，如下图，从图里面很清楚地看出，参加比赛共有的人数＝参加田赛的人数+参加径赛的人数﹣7．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【规范解答】解：(1)参加比赛的一共有：15+127﹣＝277﹣＝20(人)；(2)甲班共有：20+21＝41(人)；答：甲班共有41人．【名师点评】解答此问题的关键是，画出示意图，认真分析已知条件，找出哪些是重复的，重复了几次？题目要求的又是哪一部分？借助示意图进行思考，找到正确的解答方法．1．(2018•绵阳)一根木棒长50厘米，从木棒左端开始每隔3厘米画一条红线，每隔5厘米画一条黄线，最后沿线锯开后．这个木棒被分成了23段．【思路分析】根据两端不画，得出所画的线的条数比分成的段数少1；分别计算出每隔3厘米画一条线，共画几条；然后求出每隔5厘米画的条数，共画几条，相加后减去重合的(即3和5的公倍数)，解答即可．【规范解答】解：(50÷31)+(50÷51)﹣﹣≈16+9＝25(条)因为在50内，3和5公倍数有15，30，45即3条重合，所以应为：253+1﹣＝23(段)；答：这个木棒被分成了23段．故答案为：23．【名师点评】解答此题的关键：先明确两端不画，得出所画的条数比分成的段数少1；然后分别求出两种情况共画出的线的条数，然后减去重合的条数即可．2．(2009•余姚市校级自主招生)甲、乙、丙三个班共有学生161人，甲比乙班多2人，乙班比丙班多6人，乙班有55人．【思路分析】根据题意可先画出线段图，然后可用方程解答，设乙班有X人，甲班有X+2人，丙班有X6﹣人．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【规范解答】解：设乙班有X人，则甲班有X+2人，丙班有X6﹣人．X+2+X+X6﹣＝1613X+26﹣＝1613X+2＝1673X＝1672﹣3X＝165X＝55故答案为：55．【名师点评】此题重点是甲班，丙班怎样用未知数表示．3．黑、白、蓝三种颜色的盖子共有100个，将它们盖在红、白、黄三种颜色的100个瓶子上．其中蓝盖26个，黑盖25个，红瓶29个，黄瓶46个，有12个白瓶和4个红瓶盖着白盖，15个红瓶和4个黄瓶盖着蓝盖．那么盖着黑盖的红瓶有6个，...