1利用导数研究极值点偏移与双变量问题专项训练考点一利用导数研究极值点偏移问题1.(2026·河南平顶山·模拟预测)已知函数fx=ex-xlnx-ax-1a∈R有两个零点．(1)求a的取值范围；(2)设x1,x2是fx的两个零点，证明：x1+x2>2．22.(25-26高三上·湖南长沙·阶段检测)已知函数fx=exx2-3，其中e为自然对数的底数.(1)求函数fx的单调区间和极值；(2)设方程fx=aa<0的两个根分别为x1，x2，求证：x1+x2<2.33.(2025·河南郑州·模拟预测)已知函数f(x)=xe-x(x∈R)．(1)判断函数f(x)的单调性；(2)若方程f(x)+2a2-3a+1=0有两个不同的根，求实数a的取值范围；(3)如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，求证：ln(x1+x2)>ln2．44.(2025·安徽淮南·二模)已知函数f(x)=ex-12x2+ax+1，a∈R.(1)若f(x)为R上的增函数，求a的取值范围；(2)若a>0，x1≠x2，且fx1+fx2=4，证明：fx1+x2<2.55.(2025·湖北武汉·三模)已知函数fx=ax+a-1lnx+1x，a∈R．(1)讨论函数fx的单调性；(2)若关于x的方程fx=xex-lnx+1x有两个不相等的实数根x1、x2，(ⅰ)求实数a的取值范围；(ⅱ)求证：ex1x2+ex2x1>2ax1x2．66.(2025·浙江·二模)已知函数fx=x2-axlnx-1，a∈R．(1)求证：fx+x2f1x=0；(2)若函数fx有三个不同的零点x1，x2，x3x1<x2<x3．(ⅰ)求a的取值范围；(ⅱ)求证：x1+x3>2a-2．7考点二利用导数研究双变量问题7.(2026·江苏盐城·模拟预测)已知函数fx=x2eax，其中a>0．(1)若fx在0,2上单调递增，求a的取值范围；(2)当a=1时，若x1+x2=4且0<x1<2，比较fx1与fx2的大小，并说明理由88.(2026·四川成都·模拟预测)定义运算：mnpq=mq-np，已知函数f(x)=lnxx-11a,g(x)=1x-1．(1)若函数f(x)的最大值为0，求实数a的值；(2)证明：1+1221+1321+142⋯1+1n2<e．(3)若函数h(x)=f(x)+g(x)存在两个极值点x1,x2，证明：hx1-hx2x1-x2-a+2<0．99.(2025·河南鹤壁·模拟预测)已知函数fx=12mx2+m-1x-lnxm∈R，gx=x2-12ex+1.(1)讨论fx的单调性；(2)当m>0时，若对于任意的x1∈0,+∞，总存在x2∈1,+∞，使得fx1≥gx2，求m的取值范围.1010.(2026·江西赣州·模拟预测)已知函数f(x)=ax2,g(x)=lnxx．(1)若fx在点M(1,f(1))处的切线与直线x-2y+2=0垂直，求该切线方程；(2)若gx的极值点为x0，设φ(x)=x[f(x)+g(x)]，且φx1=φx2=3,x1≠x2证明：x0x1x2>ea2．1111.(2025·河南郑州·三模)已知函数fx=x2+aln1-x，a∈R．(1)讨论函数fx的单调性；(2)若函数fx有两个极值点x1，x2，且x1<x2，求证：fx1-ax2>-a．1212.(2026·陕西西安·模拟预测)已知函数fx=lnx+ax+b(a，b∈R).(1)求函数fx的极值；(2)若函数fx的最小值为0，x1，x2(x1<x2)为函数gx=fx-12的两个零点，证明：ex2-elnx1>2.1利用导数研究极值点偏移与双变量问题专项训练考点一利用导数研究极值点偏移问题1.(2026·河南平顶山·模拟预测)已知函数fx=ex-xlnx-ax-1a∈R有两个零点．(1)求a的取值范围；(2)设x1,x2是fx的两个零点，证明：x1+x2>2．【答案】(1)e-1,+∞；(2)证明：不妨设x1<x2，由(1)知gx1=gx2=a，则x1∈0,1，x2∈1,+∞，2-x1∈1,+∞，又gx在1,+∞上单调递增，所以x1+x2>2等价于gx2>g2-x1，即gx1>g2-x1．设hx=gx-g2-x，则hx=gx+g2-x=x-1ex-1x2-e2-x-1x-22．设ux=ex-1x2，则ux=x-2ex+2x3，设vx=x-2ex+2，则vx=x-1ex，当0<x<1时，vx<0，vx单调递减，当x>1时，vx>0，vx单调递增，又因为v0=0，v1=2-e<0，v2=2，所以存在x0∈1,2，使得vx0=0，当0<x<x0时，vx<0，即ux<0，当x>x0时，vx>0，即ux>0，所以ux在0,x0上单调递减，在x0,+∞上单调递增．又因为u1=e-1，u2=e2-14<e-1，所以当0<x<1时，ux>e-1，当1<x<2时，ux<e-1，所以...